Hogy oldjam meg az egyenletet a valós számok halmazán?

négyzetre emeled:

x+4=x^2 / -x^2

-x^2+x+4=0

és másodfokú megoldó képletbe behelyettesíted

Hűha. :)

gyök x + 2 négyzetreemelésével a gyök x nem tűnik el...

Oldd meg, y=gyök x helyettesítéssel, a másodfokú egyenletet.

Alapvető dolog, hogy egy kéttagú összeg négyzete (általános esetben) nem egyenlő az tagok négyzetének az összegével.

A négyzetgyök értelmezési tartomány amiatt most x>=0 kell legyen. Az ilyen gyökös egyenletek egyik tipikus megoldási módszere az egyenlet (legalább egyszeri) négyzetre emelése, ami csak akkor tehető meg, ha a két oldal azonos előjelű (ez most teljesülne is). Azonban ez most nem feltétlenül a jó eljárás, hiszen ennek elvégzése ezután lenne benne x^2, sima x, és gyök x is.

A másik klasszikus módszer az új változó bevezetése, legyen mondjuk A=gyök x (és emiatt csak A>=0 értéket fogadunk el). Mivel (gyök x)^2=x, ezért másodfokú egyenletre vezet, ami a megoldóképlettel könnyedén kezelhető.

A+2=A^2 -> A^2-A-2=0

Innen A=1, vagy A=2 adódik, de ez még nem a megoldás, ugyanis A=gyök x. Ezekből x=1, vagy x=4, mindkettő megoldása az eredeti egyenletnek is.