Hogyan lehet bebizonyítani, hogy (sin x) ^2015 + (cos x) ^2015 + (sin x) ^2016 <= 2?

Ha sin(x) maximumát veszi fel, akkor a cos(x) minimumát, így felülről becsülve az összeget:

(1)^2015+(-1)^2015+(1)^2016=1<2

Q.E.D.

Attól, hogy a szinusz maximumot vesz fel, és pont ott a koszinusz a minimumát, még nem biztos, hogy az egész függvénynek is ott lesz maximuma.

Egy lehetséges megoldás; ahogy arra az első válaszoló is utalt, valahogyan felülről kellene becsülni a függvényt, ugyanis ha a felülről becsülésről be lehet látni, hogy arra az egyenlőtlenség igaz, akkor az eredetire is. Ez olyan, mintha úgy bizonyítanánk a 3<5 egyenlőtlenség teljesülését, mintha a 3-at lecserélnénk egy nagyobb számra, mondjuk a 4-re, majd a 4<5 egyenlőtlenség teljesülését látnánk be.

Az összeg tagjait nem nehéz felülről becsülni; mivel a [-1;1] intervallumon veszik fel az értékéket, (-1) egész kitevőjű hatványai vagy 1, vagy (-1), 1 minden hatványa 1, a két szám közé eső értékek hatványai pedig annál jobban közelítenek a 0-hoz, minél nagyobb a hatványkitevő (lásd: az a^x exponenciális függvény, ahol 0<a<1). Emiatt nem nehéz belátni, hogy a sin^2015(x)<=sin^2(x), cos^2015(x)<=cos^2(x), sin^2016(x)<=sin^2(x) egyenlőtlenségek igazak lesznek tetszőleges x-re, így a jobb oldalak összege felülről becsüli az eredeti bal oldalát. Tehát ha be tudjuk látni a

sin^2(x) + cos^(x) + sin^2(x) <= 2

egyenlőtlenség teljesülését, akkor azzal az eredetit is be tudjuk látni. Szerencsére használható a jól ismert sin^2(x) + cos^2(x) azonosság, tehát az egyenlőtlenség:

1 + sin^2(x) <= 2, kivonunk 1-et:

sin^2(x) <= 1, végül gyökvonás után a

-1 <= sin(x) <= 1 egyenlőtlenséget kapjuk, amiről minden körülmények között tudjuk, hogy igaz minden x-re. Tehát a megváltoztatott egyenlőtlenség igaz, így az eredeti is.