Érettségi tudással, hogyan lehet felírni az általános gömbegyenlet képletét x, y, z három dimenziós koordináta rendszerben?

x^2+y^2+z^2=r^2

talán

Ez messze nem érettségi tudás, mi egyetemen vettük ezt.

Most majdnem leírtam, de nem találom hirtelen a füzetemet :@

Egyébként így kezdődik, hogy f(x,y) = Azt jelenti, hogy megadok az x és y tengelyen egy értéket, és ehhez rendel hozzá egy z értéket, így jön ki a függvény, mint felület. egyelőre ennyit tudok segíteni.

szerintem a gömb akkor gömb, ha két egymást metsző húrja egyforma hosszú, tehát ha van egy körünk vagy adataink ami alapján megkapjuk a kör egyenletét akkor szerintem fogjuk mondjuk a kör középpontját és azt a vektort amit a kör széléhez húzunk elforgatjuk a z tengelyre d távolságra pedig pont a másik pontja van a z tengelyen ahol metszi az a húr és megvan a gömbünk egyenlete

de szóljatok ha nem így van, matekból sosem voltam jó

tehát (x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=r^2 ahol K(x0.y0,z0)

legalábbis ha ilyen egyszerű a probléma

1-2-vel egyetértek. Simán föl lehet írni a térbeli Pitagorasz tételt kell hozzá ismerni, és úgy néz ki, ahogy 1-es írta.

4. Nem kell ezt bonyolítani. Messze nem szükséges ehhez egyetem. Ha akarod akkor az 1-et átírhatod f(x,y)=... alakra minden további nélkül... [ z=f(x,y)=+/-sqrt(r^2-x^2-y^2) ]

Teljesen jól írták, az (x0,y0,z0) középpontú, R sugarú gömb egyenlete az x,y,z koordinátarendszerben (Euklideszi-távolságfüggvény mellett):

(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=R^2.

A kör analógiájára megsejthető ez, messze nem egyetemi anyag. Egyetemi anyag az lenne, ha a térfogatát kéne kiszámítani mondjuk Gauss-Osztogradszkij tétellel...

Mindenesetre ha már megsejtettük, akkor be is kéne bizonyítani, pusztán középiskolai módszerekkel ez egyszerűen megtehetjük.

Triviális, hogy elég vizsgálni az x0=y0=z0 esetet, hiszen bármely (x0,y0,z0) középpontú gömbhöz fel tudunk venni egy lokális koordinátarendszert, ha úgy tetszik, az eredeti x,y,z koordinátarendszer origóját egyszerűen toljuk a gömb középpontjába.

Jelölje ezt az új koordinátarendszert u,v,w tengelyek. Az új koord.rendszerben az eredeti gömb egyenlete:

u^2+v^2+w^2=R^2.

Legyen most u=0, ekkor:

v^2+w^2=R^2, ami nem más, mint a (v,w) síkban (ami párhuzamos persze az (y,z) síkkal) fekvő kör egyenlete.

Amikor u=0 választással éltünk, akkor gyakorlatilag a gömböt átmetszettük egy síkkal a főköre mentén.

Hasonlóan v=0 ill. w=0 választással kapjuk az (u,w) ill. (u,v) síkban érvényes metszetgörbék egyenleteiket, melyek ugyancsak körök.

Mivel mivel három, egymásra merőleges síkban is kör a metszet, ezért az eredeti test csak gömb lehet. Q.E.D.

Így már remélem jól érthető mindenki számára, hogy milyen egyszerű példáról is van szó.

Javítás: "elég vizsgálni az x0=y0=z0 esetet"

Helyesen: elég vizsgálni az x0=y0=z0=0 esetet.