Matekosok, mi ennek a rejtvénynek a megoldása?
Az alábbi sorösszeget kerekítsd egészre, az eredményt írd fel 2 számjeggyel és egy jellel.
{n=1 -> inf} Sum ln(n)^20 / n^2
válasza: válasza:Ja, hazudok, divergens, ha (ln(n))^20 van a számlálóban.
Ha a számlálóban ln( n^20 ) van, akkor már izgalmasabb a dolog.
válasza:Ha a számlálóban ln( n^20 ) van, akkor ki lehet emelni 20 at az egészből.
Ami megmarad az konverngens az integrálkritérium szerint:
Nem 1 a sor összege, de fölkerekítve már igen, ezáltal a kérdésre a válasz
Fölkerekítve 20*1-re, tehát 20 a válasz.
válasza:Természetesen konvergens.
A sum 1/n^1.01 = sum n^0.99/n^2 is konvergens, és könnyen belátható,
hogy elég nagy n esetén n^0.99 mindig nagyobb mint ln(n)^20
válasza:Hmmm revideálom az álláspontomat. Akár lehet konvergens is. :)
2 számjeggyel főlírva az érdekes lesz, mert az első egymillió tag összege 10^17 nagyságrendű... :D
válasza:Jó példa ez!
Belátható hogy konvergens (nem triviális) a sor pontos összege pedig:
[ζ(x)]^(20)|x=2.
Vagyis a Riemann-dzeta függvény 20.dik deriváltja a 2 helyen. (A levezetés elég hosszú...)
A közelítő érték, ami nekem kijött:
2,43*10^18.
Megjegyzés: Szép példa az is ha n^20 a logaritmus argumentumába van. Ezt nem vezettem le, de úgy gondolom, hogy itt már Euler-gamma fv.-ek is előkerülnek. Szép!
válasza:"Szép példa az is ha n^20 a logaritmus argumentumába van."
Igen, akkor kerekítve 20 jön ki. Ld feljebb.
A WolframAlpha ezt ítra ki:
2.4329020081766400000002415616994035019179875640097328274... × 10^18
Ez egészre kerekítve megegyezik 20! (faktoriális)-sal, 2432902008176640000-val.
Na most a jó kérdés, 20 helyett bármely pozitív egész m esetén, a sorösszeg kerekítve m! (?)
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!