Konstansvariációnál ez hogy van?

Ami a homogén megoldásából jött konstans, azt te az inhomogén egyenlet megoldásához függvénynek választottad, és megszűnt konstansnak lenni. Tehát van egy nem konstansod, az A(t) és egy konstansod, a B. Ez szerintem összesen 1 darab konstans, a B. (A homogén egyenlet megoldásánál is egy konstans van, meg az inhomogén egyenleténél is.)

Ha a fenti bonyolult lenne:

> „Egy A, ami a homogén egyenlet megoldásából jött és egy B, ami az A(t) függvényhez juttató integrálásából jött integrációs konstans…”

Az A = A(t) nem konstans. Ha mégis, akkor az A+B-ből lesz egy ugyanolyan jó konstans.

Jelölje a homogén megoldást y_há, erre kijön a megoldóképlettel (vagy a szeparálás után) valamilyen C*e^(...) típusú függvény.

Az inhomogén résznél konstans variálással, vagyis C->C(x) "cserével" lehet tovább számolni. Ezt felírhatod rögtön az y_iá-ra is, de ekkor C'(x) integrálásakor kiírsz egy +K integrációs állandót. Visszahelyettesítesz, beszorzol, és máris megvan a szokásos y_há+y_ip alakú megoldás. Vagy ha y_ip-re írod fel, akkor K=0 választással jön ki C(x), és nem kell két konstans a megoldásban.

Természetesen "összerakható" a két konstans egy konstansba is, akárcsak a szeparálásnál, ahol elvileg mindkét oldalra külön-külön ki kellene tenni egyet-egyet, de ez voltaképpen felesleges.

Szerintem C'(x) integráljál némileg szabálykövetőbb a +K kiírása, ugyanakkor ha a másik módszert is nézem a másik típusú differenciálegyenletnél (y_ip és a próbafüggvény), akkor meg könnyebb megjegyezni, hogy milyen alakban kereshető az y_ip.

Egyszerűen igazolható, hogy a két konstans általános esetben összevonható, és ez magasabbrendű egyenletekre is igaz (csak ott vektorokkal kell dolgoznunk).

Magából a módszer ötletéből adódik uis. triviálisan. A homogén rész megoldása nyílván vmi A*exp(...), az inhomogén rész pedig A(x)*exp(...).

Nyílván ha A(x)=g(x)+B, ahol B=konst, akkor az egyenlet általános megoldásában (A+B)*exp(...) szerepel.

Vagyis az új konstans, mondjuk C=A+B.

Ennyire egyszerű...