Differenciál egyenlet?
y''-6y'+9y=9x+3
Megoldottam:
Homogén: y(x)=A*exp(3x)
Inhomogén (Ax+B próbafüggvénnyel): y_p(x)=x+1
Általános: y(x)=A*exp(3x)+x+1
Másodrendű, így a két kezdeti értékfeltétel:
y(0)=0
y'(0)=2
És itt a problémám, ez ellentmondásra vezet, első feltételből A=-1, másodikból A=1/3 lesz.
Két integrációs konstansnak kéne lennie, de a karakterisztikus polinomnál csak egy gyöke volt az egyenletnek, a 3. Így az y(x)=A*exp(ax)+B*exp(-ax) lineáris kombinációból a második tag eltűnik. Ezt kellet volna még megadni a kezdeti értékeknek. Ilyenkor mi a teendő?
válasza: válasza:A homogén egyenlet:
y''-6y'+9y=0
Karakterisztikus polinom: y(x)=exp(vx)
Visszahelyettesítve:
(v*v-6v+9)*exp(vx)=0, ebből:
v*v-6v+9=0
Ennek egyetlen megoldása v=3, így y(x)=A*exp(3x) lenne, de azzal amit mondtál y(x)=A*exp(3x)+B*x*exp(3x). Kiszámoltam így is, így nem ütköztem problémába. Miért, mivel rezonál és mi?
válasza:> „Ennek egyetlen megoldása v=3.”
Igen, de ez kétszeres. Viszont abban igazad van, lehet, hogy ezt nem rezonanciának hívják… Lehet, hogy inkább 'kritikus csillapítás'-nak kéne nevezni… No mindegy.
Ami a lényeg, hogy ilyen esetben az x*exp(v*x) is egy megoldása a homogén egyenletnek (próbáld ki), és hogy ez lesz lineárisan független az exp(v*x)-től, és így nem ütközöl majd problémába a kezdeti feltételek illesztésénél.
(> „Karakterisztikus polinom: y(x)=exp(vx)”
Ez nem a karakterisztikus polinom, hanem egy ansatz, a karakterisztikus polinom a
v^2 – 6*v + 9.)
válasza:(((> „Ja és elnézést, "Differenciálegyenlet?" akart lenni a cím.”
Helyesíráson akkor kötekszünk, ha tényleg olvashatatlan/értelmezhetetlen miatta az írás, vagy ha belekötnek a mi helyesírásunkba.)))
válasza:n-edrendű diffegyenletnek mindig létezik egyértelműen n-db lineárisan független megoldása. Ezen megoldások lineáris kombinációja szolgáltatja az általános megoldást.
Esetedben másodrendű az egyenlet, így 2 lineárisan független megoldás van. Mivel azonban a karakterisztikus egyenletből csak egy karakterisztikus gyök adódik, így mivel e^(vx) alakban keressük a megoldást, csak 1 részmegoldás adódik.
Bebizonyítható (nagyon mély az elméleti háttér) hogy úgy kapunk egy másik lineárisan független megoldást, hogy az előzőt x-el szorozzuk.
A homogén rész megoldása a 2-nek a lin.k-ja, így lesz az,hogy:
yh=C1*e^(vx)+C2*x*e^(vx).
Nagyon szépen köszönöm mindenkinek segítséget!
>>"Lehet, hogy inkább 'kritikus csillapítás'-nak kéne nevezni… No mindegy."
Ezzel a mondattal sikerült megértenem egy három szemeszterrel ezelőtti elméleti mechanika előadáson elhangzott gerjesztett, kényszer csillapított oszcillátor megoldását. Akkoriban nagyon nem érettem mi ott ez a tag, de most egy másik probléma megoldása közben a közreműködésetekkel beugrott, hogy anno is ez volt. Hát, sose lehet megunni a fizikát, köszönöm! :D
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!