Hogyan kell megoldani a következő differenciál egyenletet?

Ha megnézed a tankönyvet, ez lényegében F(y, y', y")=1 alakú egyenlet. Ott van az ötlet is hozzá y'=p(y) helyettesítést alkalmazva egy egyszerűbb kde.-hez juthatunk.

Tehát F(y, p, (dp/dy)*p )=0. folyt. (Elnézést a késésért, de csak most néztem rá a feladatra. köv.) Sz. Gy.

Igen, igazad van. Sajnos az egzakt módszereket el kell felejteni, már észrevehettem volna a furcsának nevezhető 2/5-ös kitevő miatt. Ha kipróbálod, akkor (n=1 és n=2 kitevő esetén) még van egzakt megoldás. A közelítő módszerek alkalmazása előtt egy kezdeti értéket (mondjuk y(0)=1 ) is adjunk meg, és választhatunk több lehetséges módszer közül. Mindegyiknek van előnye is és hátránya is. Nézzük először az általad említett Euler-módszert. Használata nem ajánlott a gyakorlatban, mert túlságosan pontatlan. A Taylor-soros módszer pedig rendkívül számolás igényes. Talán a két Runge-Kutta módszer valamelyikének az alkalmazása vinne közelebb a megoldáshoz. És még egy fontos elv a közelítő módszerek bevetése előtt. Talán látható, hogy a kapott kde. y'=f(x,y) alakra vezet. Érdemes megnézni, hogy az itt kapott kétváltozós függvény eleget tesz-e a Lipschitz-feltételenek, azaz létezik olyan L állandó, hogy minden y1,y2,x-re:

|f(x,y1)-f(x,y2)|<=L|y1-y2|.

Engedd meg, hogy első közelítésben eddig ennyit tudtam most leírni neked, ha kéred tovább folytathatjuk, ha nincs meg hozzá az eszköztárad. Sz. Gy.

Eredeti egyenletet alakítottam át a következő alakra:

(f''(x) + f(x))^5 + (f'(x))^2=0

x=0 helyen az f''(0)-re egyenletet kapunk, ahonnan

f''(0)=-1,25785828. Alkalmazva az f(x) Taylor-soros változatát, végül is

egy negyedfokú közelítő polinomot nyerhetünk a (0,1) intervallumon.

Sajnos én is negatív eredményt kaptam az Euler-módszerrel a szóba jöhető f(x,y)-al,

arról nem beszélve, hogy a már említett Lipschitz-féle feltételnek sem tesz eleget.

(pp'=-y-p^(2/5)-ből f(y,p)=-(y+p^(2/5)/p)

f(x) := 0.5 + 0.5·x - 1.25785828·x^2/2 + a·x^3/6 véve harmadfokú közelítésnek és a

fenti egyenletbe helyettesítve, és csak az a-at tartalmazó első és nulladfokú tagokkal

számolva nyerjük, hogy a=f'''(0)=0,2626226664. Ezután a nyert harmadfokú polinomot

leellenőrizzük (0,1) intervallumon 0,1-es lépésközzel. (0; 0,7) intervallumon biztató eredményt kapunk:

[0, -0.01295134007, -0.0350006174, -0.050138161, -0.05030115007, -0.03192077329, 0.006008795754, 0.06295386327, 0.1373091032, 0.2264888071, 0.3267019862]

f(x) := 0.5 + 0.5·x - 1.25785828·x^2/2 + 0,2626226664·x^3/6 +b*x^4/24 véve negyedfokú közelítésnek és a

és a fenti egyenletbe helyettesítve, és csak az b-t tartalmazó másod, első és nulladfokú tagokkal

számolva nyerjük, hogy a=f""(0)=2,2497592.

Ezután a nyert negyedfokú polinomot leellenőrizzük (0,1) intervallumon 0,1-es lépésközzel. (0; 0,8) intervallumon még biztatóbb eredményt kapunk:

[0, -0.0004747611904, -0.002626546431, -0.005244835522, -0.005019921492, 0.001606858576, 0.01597992632, 0.03517445683, 0.05367333346, 0.07733215263, 0.1691897132]

Korrekció: Előző gondolatmenetem elejére zárójelezési hiba csúszott. Helyesen f(y,p)=-(y+p^(2/5))/p

Az utolsó rész nem a-ra, hanem b-re vonatkozik, tehát b=f""(0)=2,2497592. Sz. Gy.