Ezeket a vektoros feladatokat hogyan kell megoldani?

1. feladat

Legyen a kocka egységnyi oldalú és helyezzük el az origóba úgy, hogy az egyik csúcsa az origó és a belőle kiinduló három él az x, y, z tengelyen feküdjenek. Ekkor a kocka csúcsainak koordinátái:

A(1,0,0) E(1,0,1)

B(1,1,0) F(1,1,1)

C(0,1,0) G(0,1,1)

D(0,0,0) H(0,0,1)

Ezzel a jelöléssel A felett E, B felett F, C felett G, D felett H van. Ekkor két különböző testátló: DF és AG vektorok.

DF vektor:(1,1,1) és AG vektor:(-1,1,1), amiket úgy kapunk, hogy a végpont koordinátáiból vonjuk ki a kezdőpont koordinátákat.

A DF vektor és AG vektor skaláris szorzata:

DF*AG=(1,1,1)(-1,1,1)=-1+1+1=1, amit úgy kapunk, hogy a koordinátákat rendre összeszorozzuk(elsőt elsővel, másodikat másodikkal...) és összeadjuk őket.

A DF vektor és AG vektor vektoriális szorzata:

ex ey ez

1 1 1

-1 1 1

Ezen mátrix determinánsából olvashatjuk ki a keresett vektoriális szorzat koordinátáit, ahol ex jelöli az első, ey a második, ez meg a harmadik koordinátáit a vektoriális szorzatnak.

A determináns számítása: 1ex-ey+ez+ez-ey-ex=(1-1,-1-1,1+1)=(0,-2,2)

Az általuk bezárt szög:

DF*AG=|DF||AG|cosß

1=3cosß

ahol |DF| jelöli a DF vektor nagyságát, melyet úgy számolhatunk ki, hogy a koordinátáit négyzetre emeljük és összeadjuk, és ebből a kapott összegből gyököt vonunk. A |DF| és |AG| vektorok hossza gyök3*gyök3=3

ß=70,53fok

2. feladat:

A skaláris szorzat két dimenzióban, egy vektortér két vektorához hozzárendelt skalár. Jelölése: ab, ahol a és b a vektortér két vektora. Úgy kapjuk meg az értékét, hogy a vektorokat rendre koordinátánként összeszorozzuk.

Két dimenzióban:

(a1,a2)(b1,b2)=a1b1+a2b2, ahol a1 az a első, a2 az a második koordinátája.

Négy dimenzióban:

(a1,a2,a3,a4)(b1,b2,b3,b4)=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4

Két vektor vektoriális szorzatán háromdimenziós vektorokkal végzett olyan művelet, melynek eredménye egy vektor.

Két dimenzióban:

ex ey

a1 a2

b1 b2

determináns értéke, négy dimenzióban pedig:

ex ey ez ev

a1 a2 a3 a4

b1 b2 b3 b4

c1 c2 c3 c4

d1 d2 d3 d4

determináns értéke.

3. feladat:

Bármilyen egybevágósági transzformációt végrehajtva a kockán, mely az éleket, szögek nagyságát megtartja, csak a koordináták változnak, de ugyanazt a kockát írják le. Nem változik a skalárszorzat sem, például forgassuk el a kockát 90 fokkal, elegendő vizsgálni a testátlók koordinátáit:

OF vektor (1,-1,1),

A(0,-1,0), G(1,0,1), így AG vektor =(1,1,1)

OF*AG=1-1+1=1, tehát nem változik az értéke.