Generátorban keletkező áram?

A Maxwell egyenletek írják le (Faraday-Lenz törvény).

[link]

De az egyenletek is csak leírják és a "miért" re nincs válasz talán csak annyi hogy csak. (mert ilyen a világ)

Faraday talán 1836-ban kísérletezgetett. Három alapkísérlete volt és mindháromnál ugyanaz volt az alapszituáció: volt egy mágneses tér, benne egy kerettel, amire rákötött egy ampermérőt. A tér legyen olyan, hogy felénk mutatnak a térerősség vektorok. Nézzük a kísérleteket:

#1,

Megfogta a keretet és kihúzta hirtelen jobbra. Ekkor azt tapasztalta, hogy a keretben áram kezdet folyni, hiszen az ampermérő mutatója kiugrott a nulla értéktől.

#2,

Ekkor a keretet nem bántotta, hanem a mágneses teret mozdította el hirtelen balra. A tapasztalat ismét az volt, hogy áram folyt a keretben egy ideig, méghozzá amikor ugyanakkora v sebességgel rántotta el a teret a keretről, mint amikor a keretet rántotta ki a térből, akkor ugyanakkora áramerősségeket mért. Tehát ha v_1=v és v_2=-v_1=-v, akkor I_2=I_1.

#3,

Ennél a kísérletnél nem mozgatott semmit, hanem szimplán változtatta a mágneses tér amplitúdóját és ismét azt tapasztalta, hogy amíg változtatja a térerősséget, addig folyik az áram, utána nem.

Ez volt a három alapkísérlete, feltette a kérdést, hogy miért? Mi lehet annak az oka, hogy mágneses térben elmozdított vezetőben áram indul meg? Akkoriban már ismeretes volt a Lorentz-törvény, miszerint F=q(v×B). Mivel az első kísérletben a keretet mozgatta v sebességgel, így a keretben lévő töltések sebessége is v volt, ebben az esetben a törvény értelében, ha téglalap alakú keretet képzelünk el, akkor a két szélső oldalában képes volt megindulni az áram, hiszen az ott lévő töltésekre erő hatott. Jó, ezzel meglehet magyarázni az elsőt, na de a többi? A második esetben a töltések meg sem mozdultak, csak a tér, a harmadikban meg még annyi mozgás sem volt. Szóval jó volt ez a Lorenzt-törvény, de a többi nem tudta megmagyarázni. Egyébként ha itt előre ugrottunk volna 60-70 évet, akkor a speciális relativitáselmélettel megtudtuk volna magyarázni a második kísérletet is, hiszen a tér és keret szempontjából teljesen mindegy, hogy a mágneses tér mozog vagy a keret. A második kísérletnél egész egyszerűen csak annyi történik, hogy áthelyezzük a vonatkoztatási pontunkat a keretről a mágneses tér tetejére, ekkor számunkra a keret jobbra kimozdul a térből, vele együtt a töltések, így a Lorentz-törvény ismét megmagyarázza a jelenséget, sőt így az is érthető, hogy ugyanakkora v sebességeknél miért volt ugyanakkora a mért I áramerősség. Analógia erre amikor vonaton ülsz és van melletted egy másik vonat, amelyik a másik irányba indul el, ha csak a vonatot látod nem tudod eldönteni, hogy Te mész előre a vonatoddal vagy a másik vonat megy és Te állsz. Szóval így a speciális relativitáselmélet megtudja magyarázni a második kísérletet, de ekkoriban még ez sehol sem volt, szóval Faraday-nak más magyarázatot kellett találnia. Próbálta kiszámolni azt, ami történt. Gondolatban vett valamilyen mágneses teret és egy keretet, majd a keretet odébb vitte. Ami bizonyos volt, hogy változik, az a mágneses fluxus, így hát ebből indult ki. Kíváncsi volt mennyit változik, legyen a keret mozgatása előtti fluxus Φ és mozgatása utáni fluxus Φ', ekkor a ΔΦ fluxusváltozás nem más lesz, mint Φ'-Φ, tehát:

ΔΦ=Φ'-Φ

Na de gondolkodjunk kicsit, mi is a fluxus? Egységnyi felületen merőlegesen áthaladó erővektorok száma. Hát ha mondjuk fentről-le mozgatjuk a keretet, akkor mi lett azokkal az erővonalakkal a mozgatás után, amelyek a mozgatás előtt átszúrták a keretre húzott "hártyát"? Ha összekötjük egy palásttal az mozgatás utáni alsó és mozgatás előtti felső keretet, akkor kapunk egy a keret alakjától függő valamilyen térbeli objektumot. Azok az erővonalak, amelyek fent bementek és alul nem jöttek ki azok csakis oldalt mehetettek ki. Tehát a fluxusváltozás az pontosan megegyezik az ezen palástra számolt fluxussal. Tudjuk, hogy a fluxus az nem más, mint a fluxus alapjául szolgáló mennyiségnek a felületre vett integráljával. Így tehát ezen egyszerű elgondolás alapján felírhatjuk, hogy:

ΔΦ=∫BdA

Itt ugye A-nak is van iránya, méghozzá a hozzá tartozó normálvektor iránya, eredendően ez adja a fluxus definícióját, hiszen a vektor B-vel vett belső szorzatból kijön egy koszinusz, ami a merőlegesre való vetítését adja a térerősségvektoroknak. Az integrált pedig a palástra kell venni. Remek, most már csak meg kell oldani, ehhez pedig specifikálni kell a dA felületelemet. Legyen dl a keret infinitezimális íveleme, mivel lefele mozgattuk a keretet, ezért arra van egy v sebességvektorunk, így létrehozhatunk egy lefele mutató vdt vektort is, ami gyakorlatilag az infinitezimális dt időtartam alatt megtett útja a keretnek. Mivel dA vektor, méghozzá kifelé mutató normálvektor irányú, ezért a dA felületelemet a kettő külső szorzata fogja megadni:

dA=vdt×dl, így az integrál:

ΔΦ=∫BdA=∫B(vdt×dl)

dt itt skalár, v és dl pedig vektor, a vektori szorzat tulajdonsága pedig, hogy nyugodt szívvel kiemelhetjük a szorzatból és egyébként az integrálból is, tehát:

ΔΦ=∫BdA=∫B(vdt×dl)=Δt∫B(v×dl)

Az integráljel után egy vegyes szorzat van, mint ismeretes ő invariáns a ciklikus permutációval szemben, így igaz a következő egyenlőség:

ΔΦ=∫BdA=∫B(vdt×dl)=Δt∫B(v×dl)=Δt∫(B×v)dl

dl-nek előre kellet volna menni, de az már a B×v-vel egy belső szorzat, az meg már kommutatív. Ha megnézzük az integrandust, kapásból eszünkbe jut a Lorenzt törvény, hiszen majdnem ugyanaz egységnyi töltéssel, csak ott v×B van. Itt nem felejtjük el, hogy a külső szorzat nem kommutatív. Ez egyszerűen belátható a jobb kéz szabállyal is. Ha megcserélem a sorrendet, az eredmény vektor nagysága megmarad annak ami egyébként, de ellenkező irányba mutat, így v×B=-(B×v), ezt felhasználva:

ΔΦ=∫BdA=∫B(vdt×dl)=Δt∫B(v×dl)=Δt∫(B×v)dl=-Δt∫(v×B)dl

Jelöljük f-fel az egységnyi töltésre ható Lorenzt-erőt, ekkor:

ΔΦ = -Δt ∫ f dl

Ha jobban belegondolunk, akkor f az nem más, mint E elektromos térerősség vektor, hiszen nem más, mint az egységnyi töltésre ható erő.

E=F/q

Az elektromos térerősség integrálja dl ívelem szerint pedig nem más, mint az elektromos potenciálkülönbség. Az integrál határait nem írogattam ki, de felületről közben áttértünk vonalra, így gyakorlatilag az f-et a keretre integráljuk ki, az pedig a fentiek értelmében nem mást ad, mint az elektromotoros erőt. Ez nem mást, mint a keretben lévő potenciálkülönbség, tehát feszültség nagysága a forrás belső ellenállása nélkül. Ha az elemen lévő U feszültséget akarjuk megkapni, akkor az U=ε-IR_b lesz, ahol I a keretben folyó áram erőssége, R_b pedig a belső ellenállás, illetve ε az elektromotoros erő. Na de visszatérve a számoláshoz:

ΔΦ = -Δt ∫ f dl = -Δtε, mert ε=∫ E dl

ε=-ΔΦ/Δt, ennek limesze, ahol Δt tart nullához:

ε=-dΦ/dt

Tehát ennek a kísérletnek a számolásával Faraday azt kapta, hogy az időben változó mágneses fluxus az egy elektromotoros erőt indukál. Ebben az egyenletben nincs semmi rendszerspecifikusság, tehát bár a második kísérletből indult ki, egy olyan általános indukciós törvényt kapott, amely megmagyarázza a harmadik kísérletet is. Hiszen ott is változott a mágneses tér időben, így a fluxus is, ennek következtében elektromotoros erő indukálódott. Tömören ezért egyenlő a kettő egymással. Aztán ennek egy alkalmazás két keretre ad még sok infót, például hogy a - jel gyakorlatilag az energiamegmaradást fejezi ki és hogy az indukált feszültség minden áramkörre vonatkozik, így magára a forrásra is. Ezért mondják azt, hogy az áram nem szereti a változást. Ha elkezdem növelni az áramerősséget egy keretben, akkor az változó mágneses tér, változó fluxus, így a keretben indukálódik egy az eredetivel ellentétes irányú feszültség, ami csökkenti az őt létrehozó hatást, ugyanez a másik irányba, ha csökkenteni akarom az áramerősséget egy olyan feszültség indukálódik, amely ezt a hatást kívánja csökkenteni. Ha nincs a mínusz jel, akkor kis perturbációra elszáll az egész és végtelen energia. Ezt a ε=-dΦ/dt egyenlőséget nevezzük Faraday törvénynek, ezt még némi fluxus, elektromotoros erő definícióval és integrálredukciós tétellel át lehet alakítani Maxwell második egyenletévé, ezt Maxwell tette meg, ezért az ő második egyenlete a többszörös szimmetria szerinti tárgyalásmódban. Ez azt mondja ki, hogy az időben változó mágneses tér forrása egy időben változó örvényes elektromos térnek. Az első törvényből meg kijön, hogy az időben változó elektromos tér forrása egy örvényes időben változó mágneses térnek. Ergo ha van valamilyen tered és elkezded azt változtatni, akkor egymást gerjesztő terek sorozata jön létre, ami tovaterjedve szolgáltatja az elektromágneses hullámot és ezt még nagyon-nagyon sokáig lehetne folytatni.