Van-e olyan prímszám, amely csupa egyesből áll, és a számjegyeinek száma is?

> „A 11, 111, 1111, 11111,... db egyesből álló számok között van-e prím?”

Igen, például a 11.

A fő kérdést ugye úgy érted, hogy van-e 1, 11, 111, 1111,… darab egyesből álló prím?

idézet a Wikipédiából:

"Csupa egy prímek"

Olyan prímek, amelyek (tízes számrendszerben) csak az 1-es számjegyet tartalmazzák.

11; 1111111111111111111; 11111111111111111111111 (OEIS2C A004022 )

A következőnek 317, az azt követőnek pedig 1031 számjegye van."

Mivel azt könnyű belátni, hogy egy ilyennek prím darab egyesből kell állnia, ezért aminek a számjegyeinek száma is csupa egyesből áll az minimum (10^(10^19 – 1) – 1)/9 nagyságú, ugyanis (10^11 – 1)/9 az sajnos nem prím (osztható 21 649-cel),és a 11 után a 19 darab egyesből álló szám jön szóba a számjegyek számaként. Viszont a legnagyobb ismert prím kevesebb, mint 18 millió (tehát nyilván kevesebb, mint 10^8) jegyű, tehát egészen biztosan nem tudunk neked ilyet mutatni a következő pár száz évben.

És jogos, a mellékkérdésedet félreolvastam, a főkérdést ezek szerint jól értettem. Viszont a választ sajnos nem tudom.

Hasznos megjegyzés: GyK-s válaszban legfeljebb 6 egyforma karakter szerepelhet egymás mellett, tehát érdemes hármas tagolást alkalmazni, de jelen esetben jobb a számjegyek számát írni. A 22:05-ös válaszában a sor második tagja 19, a harmadik 23 darab egyesből szeretne állni, csak a GyK levágta.

> „Valószínűségi alapon: nagyon valószínű, hogy egyáltalán nincs ilyen prím?”

Mivel 6-os számrendszerben van ilyen, és a 6 számelméleti szempontból nagyon hasonlít a 10-re (2*p alakú), ezért én nagyon valószínűnek érzem, hogy VAN ilyen prím (igaz, ez nem bizonyíték).

Konkrétan ugye a 1 111 111_6 = 55 987 pontosan 11_6 = 7 darab 1-esből áll.

2-es és 3-as számrendszerben is van ilyen, ráadásul több is.

[link]

[link]

Sőt, 2-es számrendszerben még többszörösen közvetett is van:

Prím a 3 = 11_2,

prím a 7 = 111_2,

sőt, prím a 127 = 111 1111_2 és a 2^127 – 1 is. (Ez így 4-szeresen közvetett.)

Esetleg egyetemek számelmélet/algebra tanszékén elképzelhető, hogy mélyebben tudnak nyilatkozni a témában.

> „én nagyon valószínűnek érzem, hogy VAN ilyen prím”

Figyelembe véve, hogy 2-es számrendszerben sem tudjuk, hogy egyáltalán véges vagy végtelen sok repunit prím van-e (bár azt sejtik, hogy végtelen sok van), ez egy elég elhamarkodott megérzés volt. Szóval visszavonulok az „inkább valószínű, hogy van ilyen prím” álláspontra.

Ez a feladvány pont ide kapcsolódik:

[link]

még ajándékot is lehet nyerni, ha valaki megoldja :)