Hogyan zajlik egy kutatás a matematika területén?

Elég sok olyan kutatás van, amit ember már nem tud kiszámolni, mert olyan sok számítási feladatot igényel. Elindítanak egy programot, az meg dolgozgat magának.

De egyébként nem csak ilyen kutatások léteznek, van ez a gondolkodós fajta is. Felvetnek egy ötletet, elkezdik számolgatni, és próbálják bebizonyítani az elvüket.

Tömören ennyi :D

Olyan sok mindent nem tudok hozzátenni az eddigiekhez…

A történelemben volt példa olyanra, hogy egy matematikus amfetaminon pörögve napi 4-5 óra alvással kutatott, miközben járta a világot és sok-sok eszmecserét folytatott a többi matematikussal; és olyan is volt, hogy valaki Szibéria közepén egy pincében egy kis piros labdát pattogtatva bizonyította a Poincaré-sejtést, még a millió dollárjáért sem ment el, mert minek az neki.

Persze ezek szélsőséges esetek, a „normális” kutatómatematikusok Gauss-eloszlás szerint töltik be a skálát.

Nos, lényegében pontosan így van. :p

Nagyon sok magyar többek között ezért tudott matematikus lenni, mert a matematika "olcsó" tudomány, nem feltétlenül kell hozzá drága felszerelés, csak ész.

Itt van a polcomon két Erdős Pál-életrajz (nem szakmai jellegű, a nagyközönségnek szóló; kiadták őket a halálának évfordulójára, én meg megvettem, mert beleolvasva élvezetesnek találtam), szerintem elég jó képet adnak a kutató matematikusi munkáról.

Az első reflexem, amikor valaki kiír egy kérdést a Gyakorira, hogy megnézem, milyen bármilyen nyelvű linkek vannak rá, és itt találtam egy annyira zseniális angol írást, hogy nem bírom nem elküldeni:

[link]

Ha tudsz kicsit angolul/le tudod fordíttatni, mindenképpen ajánlanám olvasásra, matematikus ad választ, hogy mik az ő saját élményei, hogy hogyan zajlik az ő tapasztalatából a munka.

Lényegében úgy kell elképzelni, hogy elvégzed az iskolát. Megtanulsz egy csomó mindent a már ismert módszerekről.

Majd elkezdesz olyan feladatokat kapni, hogy bizonyíts be egy már ismert problémát. Elkezded megtanulni, hogy hogyan használd, amit megtanultál, hogyan kapcsolj össze valamit, amit már ismersz máshonnan, valamivel, amin dolgozol, higyan fordíts a gondolkodásodon egyet és közelíts meg valamit valamilyen szemszögből. Mi az, ami esetleg sugallja, hogy azonos vagy hasonló módszer alkalmazható lehet más területen is, milyen módosítások kellenének, hogy alkalmazható legyen.

Igazából már az általános iskolai matematikában is található nagyon sok ilyesmi feladat, hiszen ott is elvárják, hogy rájöjj magadtól hogy melyik megtanult módszer alkalmahózható valamire, sőt akár hogy te magad "találj" fel egy módszert. (Nagyon sok logikai rejtvény ezt az utóbbit célozza.)

Amikor matematikus vagy, akkor már egész területek vannak, amik valamilyen módszertannal foglalkoznak, és te vagy egy ilyen terület kifejlesztésén dolgozol, vagy a kapcsolódási pontokat keresed különböző területek között.

Mondjuk van egy problémád, de fogalmad sincs, milyen irányba kellene gondolkoznod, hogy továbblépj egy megoldás felé.

Vagy kitaláltál valamilyen módszert, és azt kérdezed, ki tudná ennek hasznát venni? Ki dolgozik olyan területen, amihez ez az új módszer kapcsolható lehet?

Van aki egyedül dolgozik, de többnyire hatékonyabb - mint mindig - ha az ember konzultál másokkal, új ötleteket gyűjt, a saját új ötleteit megpróbálja továbbadni olyanoknak, akiknek esetleg segíthet, mert ők többet tudnak egy témáról.

Amikor az ember úgy érzi, hogy valami újra bukkant, akkor publikálja. A cikkekért valamennyi pénzt szokás kapni azoktól az alapítványoktól, akik ezeket működtetik. Olyan is van, hogy egy probléma megoldására pénzdíjat tűz ki valaki.

Hogy aztán a matematikai módszernek mi lesz a gyakorlati haszna? Fizikában előfordul mondjuk, hogy vizsgálunk egy jelenséget, a kezünkben vannak a megfigyelt adatok, de nem tudunk olyan matematikai modellt felállítani, amik le tudnák írni a kapcsolatokat a megfigyelt változók között.

Ilyenkor megpróbálunk különböző matematikai modelleket ráhúzni a dologra. Ha A és B viszonyát e szerint a matematikai képlet alapján tekintjük, az jobban megfelel a megfigyeléseknek? Jobban megjósolható vele, hogy mi fog történni?

Olyan is van, hogy ismerjük a választ, de nem tudunk rá bizonyítást - nem tudjuk a már ismert modellekkel leírni, hogy miért van így.

pl. itt egy klasszikus: a négyszín-sejtés.

Azaz: ha van egy térképed, 4 szín elég a kiszínezéséhez úgy, hogy ne kerüljön ugyanaz a szín egymás mellé.

A fenti esetben nem ismertünk ellenpéldát, amikor ez ne lenne igaz, de nem tudtuk, hogy ilyen ellenpélda létezhet e vagy sem.

Az ismert matematikai módszerekkel nem sikerült olyan modellt felállítani, ami az egyik vagy másik lehetőséget minden esetben kizárná.

Ez egy példa arra, amikor már van egy eredményünk, de nem tudjuk bizonyítani.

Tehát elkezdesz gondolkozni: milyen módszerekkel tudnék leírni általános esetre olyan dolgokat, hogy "egymás mellett levés"?

Lehet, hogy kiderül, hogy már van erre matematikai módszer, mondjuk "gráfelmélet". De mondjuk még nem tartalmaz olyan módszert, hogy "csökkenthető elrendezés", ezt előbb neked ki kell találnod.

Elméletileg akárhány módszer lehet valaminek a leírására, és mi persze mindig a minél egyszerűbb módszereket keressük. Tehát olyan is van, hogy létezik módszer vagy bizonyítás, de találsz valamit, ami egyszerűbb, vagy jobban alkalmazhatóbbb valamelyik más területtel összhangban.

Egy olyan szabály, hogy mundjuk "nem oszthatsz 0-val" elárulja neked, hogy melyik területekkel nem használhatsz együtt majd valamit úgy, hogy bizonyos más feltétezéseket ne sérts meg.

Lehet, hogy egy másik rendszerben viszont esetleg alkalmazható.

(Lényegében ez a matematika: felállítunk bizonyos szabályokat (axiómákat/alapfeltételezéseket), és megpróbálunk úgy újabb szabályokat hozzákapcsolni, hogy a modell minél egyszerűbb legyen és ne kerüljön önellentmondásba.)

Persze a legjobb az lenne, ha a világ mentes lenne az ellentmondásoktól, és mindennek mindennel az összefüggése ismerhető lenne.

"Persze a legjobb az lenne, ha a világ mentes lenne az ellentmondásoktól, és mindennek mindennel az összefüggése ismerhető lenne."

...Ami ugye bizonyítottan lehetetlen.

Minden magas szintű tudományos kutatómunka (nemcsak matematikában) 90%-át az teszi ki, hogy az ember gondolkodik, végigpróbál lehetőségeket, elemzi az ötleteit.

A matematikai alapkutatás lényege, hogy új tételeket fundál ki az ember és megpróbálja bebizonyítani, ami úgy is történhet, hogy egy már bizonyított tétel további következményeit keresi meg.

A matematikában is van azonban alkalmazott kutatás, ami viszont abból áll, hogy más természet vagy társadalomtudomány problémáit vagy szituációit próbálják meg a matematika nyelvén leírni, megfogalmazni, vagyis matematikai modellt készíteni egy szakmai hipotézisre.

Sőt a matematikában sem csak alap- és alkalmazott kutatás van, hanem még fejlesztés is, amit például programtervező-matematikusok végeznek újfajta algoritmusok kigondolásánál és megvalósításánál.

"Ami ugye bizonyítottan lehetetlen"

-> mégis erre törekszünk, és ezért fontos leszögezni ezt, amikor arról beszélünk hogy hogyan építődik fel egy tudomány. :D

Egyébként is, a nemteljességi tételek nem feltétlenül azt mondják, hogy a formális-aiómatikus rendszerek hasznavehetetlenek, csak jelzést adnak a korlátjaikról.

Hiába, hoyg ezek a tételek lassan már 85 évesek, tehát pontosan ennyi ideje tájékoztatva vagyunk, mégsem cseréltük le a formális rendszereinket, mert azok még ezekkel a problémákkal együtt is működőképesek.