Hány tagból állhat maximum egy olyan szoros prím-sorozat, amelyben egy prím, és a rákövetkező n.  prím különbsége max 3n?

Az a kérdés van-e másik 11 (esetleg még hosszabb) prímsorozat, aminél az első és utolsó tag különbsége kisebb, mint 30.

Egyből érezzük, hogy a válasz nem.

3-mal kezdődő sorozat nem jó.

5-el kezdődő se jó.

5-től kezdve minden prím 6k+-1 alakú.

6k+1

6k+5, 6k+7

6k+11,6k+13

6k+17,6k+19

6k+23,6k+25

6k+29

Vagy

6k+1

6k+5, 6k+7

6k+11,6k+13

6k+17,6k+19

6k+23,6k+25

6k+29, 6k+31

11 olyan szomszédos lehetséges prím, ahol az első és utolsó tag különbsége 30.

Azt kell megmutatni, hogy egyik esetben se lehet az összes szám prím.

Nézzük meg az 5-ös maradékokat a 6k+1-hez viszonyítva.

6k+1, 6k+7, 6k+13, 6k+19 és 6k+25 szerepel mindkét esetben.

Kicsit átírva:

6k+1 + 0

6k+6 + 1

6k+11 + 2

6k+16 + 3

6k+21 + 4

6k+1-hez viszonyított 5ös maradékok között szerepel a 0,1,2,3,4 is, ami azt jelenti, hogy van a számok között 5-el osztható, vagyis nem lehet mind a 11 szám prím.

6 szomszédos számból maximum 2 lehet prím 5-től kezdve. (Mert a többi osztható vagy 2-vel vagy 3-mal.)

Vagyis az n.(n>10) prím legalább 3n távolságra van.

De ha felírjuk n és 'x' prím és 'x'+3n közötti lehetséges prímeket, akkor ez nem lehet 'n' db, mert biztos, hogy van közte 5-el osztható.

Ez bizonyítja azt, hogy a kérdésre a 2,3,...,31 a helyes válasz.