Ha transzformációt hajtok végre a valószínűségi változón, akkor hogy tudom megkapni az új sűrűségfüggvényt/eloszlást?

Az eloszlásfügvény definíciójából kell kiindulni.

Az X változó eloszlásfüggvénye:

  F(x) = P(X < x)

Az Y változó eloszlásfüggvénye:

  G(x) = P(Y < x) = P(aX+b < x) = P(X < (x-b)/a) = F((x-b)/a)

A sűrűségfüggvénye deriválással adódik:

  f(x) = d/dx F(x)

  g(x) = d/dx G(x) = d/dx F((x-b)/a) = 1/a · f((x-b)/a)

Eddig még nem használtuk fel, hogy X egyenletes eloszlású. Ha felhasználjuk az jön ki, hogy:

  g(x) = 1/a · f((x-b)/a) = 1/a · 1/(B-A) ...

  g(x) = 1/[a(B-A)] ha A ≤ (x-b)/a ≤ B vagyis ha (aA+b) ≤ x ≤ (aB+b), különben 0.

---

Egy érdekesebb eset: legyen négyzetreemelés a transzformáció.

  Y = X²

  G(x) = P(Y < x) = P(X² < x)

Ez x≤0 esetén 0, x>0 esetén pedig:

  G(x) = P( -√x < X < √x) = P(X < √x) - P(X ≤ -√x)

vagyis

  G(x) = F(√x) - F(-√x) ha x>0, egyébként G(x) = 0

deriváltja (x>0 esetén): (csak a végeredményt írom fel, de gyorsan el lehet ide jutni)

  g(x) = f(√x) / (2√x) + f(-√x) / (2√x)

Megint nem használtuk még fel, hogy milyen X eloszlása. Általánosságban A és B határú egyenletes eloszlással nehéz felírni, de legyen mondjuk -B és +B között egyenletes eloszlású az X. Vagyis a sűrűségfüggvénye:

  f(x) = 1/(2B) ha -B ≤ x ≤ B, különben 0

Ekkor:

  g(x) = (f(√x)+f(-√x)/(2√x) = 2/(2B)/(2√x) ...

  g(x) = 1/(2B√x) ha 0 < √x ≤ B vagyis ha 0 < x ≤ B², különben 0