Mi az eredmény?

Vigyázat!

Ez nem érvényes: ∞! = ∞

Ez az érvényes: ∞! > ∞

Hogy miért? Elméletileg ugyanis végtelen sokféle végtelen van. Pl. a racionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen, míg az összes valós számok halmazának már megszámlálhatatlan a számossága, ennek a számossága kontinuum.

[link]

[link]

[link]

∞! számossága már meghaladja a megszámlálhatóan végtelen számosságát. A kontinuum számossága 2^∞

Megjegyzés: ∞ = alef-null

> Elméletileg ugyanis végtelen sokféle végtelen van.

Igen, de itt pont mindkettő א‎₀.

Mondjuk a feladat megfogalmazása sem teljesen pontos. Ugye a végtelen nem szám, hanem számosság, így faktoriálisa sem lehet. Az ilyen jellegű feladatot inkább határértékkel szoktál felírni:

lim[n→∞] n! = ∞

Itt a két végtelen ugyanaz az א‎₀, hiszen mindegyik az egész számok számosságát jelenti.

Ez hasonló ahhoz, hogy miből van több, természetes számból, vagy páros természetes számból. Az ember úgy érzi, hogy páros számból fele annyi van, mint egész számból, tehát fele annyi.

De nem. Minden természetes számhoz hozzá tudunk rendelni egy páros számot x→2x, illetve minden páros számhoz hozzá tudunk rendelni egy természetes számot x→x/2. Ez kölcsönös, egyértelmű megfeleltetés, tehát páros szám pont ugyanannyi van, mint természetes szám.

A végtelen esetén a véges világban kialakult intuitív ötleteink nem sokat érnek, becsapnak. A végtelent nem tudjuk elképzelni, mindig egy nagyon nagy, de véges dolgot gondolunk el, aminél logikus, hogy természetes számból kétszer annyi van, mint páros számból. De ez a végtelenre nem igaz. Nyugodtan ki lehet jelenteni, hogy:

∞+n = ∞

∞-n = ∞

∞+∞ = ∞

∞*n = ∞

∞/n = ∞

∞*∞ = ∞

√∞ = ∞

∞^n = ∞

∞! = ∞

(Ahol ∞ itt az א‎₀-t jelenti.)

Szorzással, összeadással nem lehet elhagyni az egész számok számosságát.

Viszont hatványozással már igen:

2^א‎₀ ≠ א‎₀

2^א‎₀ = א‎₁

Igen, a valós számok számossága א‎₁, míg az egész számok számossága א‎₀, ahogy Cantor bácsi bebizonyította. De a fenti példában nincsenek valós számok.

Az א‎₁ így van definiálva: א‎₁ = 2^א‎₀

Ha a ∞! szétírnánk, vagyis így: ∞! = 1*2*3*4* ..., és aztán ezt tovább szétírnánk úgy, hogy ebbe minden páros számot a kettő hatványaként fejeznénk ki és szorozva valamilyen páratlan számmal (pl. 1000 = 2^4*25), aztán a továbbiakban a kettő hatványait mindig összeadnánk és ezt csinálnánk egészen a végtelenségig, akkor szerintem „végül“ ezt kapnánk: ∞! = 2^∞*...

Itt megjelenik a 2^∞ ami egyenlő az א‎₁-el. Vagyis ezek szerint itt már elhagyjuk az egész számok számosságát. Vagy mégsem?

Akkor próbáljuk meg egyszerűbben:

A faktoriális „durvább“, mint a hatványozás. Csináld meg azt, hogy a kettes után már nem növeled a számokat, folytatod úgy, mint a faktoriális esetében, csak most már minden további tag helyett csak a kettest írod (vagyis kevesebbet, mint a faktoriális esetében). Mit fogsz kapni? Ezt: 2*2*2*... a végtelenségig, ami szerintem 2^∞, és ez egyenlő az א‎₁-el. Vagy mégsem így van?

Valóban, n! ~ sqrt(2*pi*n)*(n/e)^n, tehát n! n-nek exponenciális közelítése.

[link]

Egyébként a fent írt durva közelítés is jó lesz:

n! = prod(k=0..n)(k) >

> prod(k=0..[log(2)(n)])(2^k) =

= 2^(szum(k=0..[log(2)(n)])(k))

és itt a kitevő végtelenhez tart.

Oké, bementünk a dzsindzsásba…

A matematikának két különböző ága foglalkozik a végtelennel, és ezekben más a végtelen jellege, jelentése.

Van a határérték-számítás. Itt van egy függvény, ahol a függvény paraméterét növeljük minden határon túl, és az vizsgáljuk, hoy a függvény értéke milyen értékhez tart. Pl. előfordul, hogy a függvény értéke egy véges mennyiséghez konvergál. Pl.:

Van egy függvény: x → sum[i=1→x] 1/2^i

Nézzük, hogy ha x tart a végtelen felé, akkor mihez tart a függvény értéke:

lim[n→∞] sum[i=1→n] 1/2^i = 2

A függvény kettőhöz konvergál.

Van olyan függvény, ami nem egy konkrét értékhez konvergál, hanem minden határon túl növekszik. Ilyen az x → x! függvény is:

lin[n→∞] x! = ∞

Ez azt jelenti, hogy tudok bármilyen nagy számot mondani (jelöljük m-el), amire van olyan x, amire x! > m.

Ez jelenti a végtelent a határérték-számításban. Itt csak olyan van, hogy végtelen. Ez annak a kifejezése, hogy nem véges értékről van szó.

A feladatban is valami ilyesmiről van szó.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

A matematika másik ága, ami a végtelen fogalmát kezeli, az a halmazelmélet. Itt egy halmazról van szó, illetve annak az elemeinek számáról, illetve számosságáról. Hány eleme van a természetes számoknak? Nem véges, tehát végtelen. Oké. De hány eleme van a páros számok halmazának? Szintén végtelen. A két végtelen azonos? Igen, hiszen minden egész számhoz tudunk rendelni egy és csakis egy páros számot ( x → 2x ), illetve minden páros számhoz tudunk rendelni egy és csakis egy egész számot ( p → p/2 ). Így a két halmaz elemei között egyértelmű hozzárendelést, bijekciót tudunk létrehozni. Nincs olyan egész szám, aminek ne lenne meg a páros számok halmazában a neki megfelelő elem, és nincs olyan páros szám, aminek ne lenne meg az egész számok halmazában a neki megfelelő elem. Minden elemnek egy párja van a másik halmazban. Bármilyen véges egészhez meg tudjuk mondani, hogy hozzá melyik páros szám tartozik, és viszont. Tehát azonos számosságú a két halmaz.

Ugye több kérdés merült fel. Pl. a racionális számok halmazának is ez a számossága? Tudunk olyan bijekciót kreálni, amiben bármelyik egész számhoz pontosan egy, véges racionális szám tartozik, és bármelyik racionális számhoz pontosan egy, véges egész szám tartozik? Igen: [link]

Tehát a racionális számok számossága megegyezik az egész ill. természetes számok számosságával. Fogalmazzunk úgy, hogy elvileg fel tudjuk sorolni az összes racionális számot.

Milyen a valós számok halmazának számossága? Az is megegyezik az egész számok számosságával? Cantor bebizonyította, hogy nem, nem tudunk készíteni ilyen egyértelmű megfeleltetést. Ha lenne ilyen megfeleltetés, tudnánk olyan valós számot kreálni, ami nincs benne a felsorolásban, amihez nem tartozik egy konkrét egész szám. Lásd: [link]

Szóval itt különböződik meg a kétféle végtelen. Plusz kérdés volt, hogy a kétféle végtelen között van-e valami, vagy nincs. Van-e a valós számoknak olyan részhalmaza, ami sem nem א‎₀ és nem is א‎₁. A kontinuumhipotézis ugye azt mondja, hogy nincs. De ez ugye hipotézis, mondjuk úgy egy kérdés. A válasz pedig erre az, hogy nincs válasz. :-) Ez se nem bizonyítható, se nem cáfolható. Az állítás vagy annak tagadása nem vezet ellentmondásra.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Mindenesetre a két matematikai ág más és más oldalról fogja meg a végtelent. A kettő nem igazán átjárható. Nem lehet határérték-számításban értelmezni azt, hogy az a bizonyos végtelen, ami felé tart egy függvény, az megszámlálható vagy megszámlálhatatlan végtelen. Értelmetlen a megkülönböztetés. Ott csak az a kérdés, hogy van-e egy plafon, egy korlát, ami felé tart, vagy minden határon túl nő a függvény értéke.

A határérték-számításnál a végtelen egy számszerű fogalom, míg a halmazelméletben darabszámból képzett attribútum, számosság, ami kevésbé számszerű fogalom.

* korrekció:

lim[n→∞] sum[i=1→n] 1/2^i = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 … = 1

A függvény egyhez konvergál.

Próbáljuk meg így megközelíteni a dolgot:

Érvényes: n! > 2^n (ha n > 3)

Ha n = ∞, akkor 2^n = 2^∞ = א‎₁

Namármost, a fentiekből annak kellene következnie, hogy ha a 2^∞ = א‎₁, akkor a ∞!-nak szintén egyenlőnek kellene lennie az alef-eggyel (א‎₁), hiszen ahogy a # 6 válaszoló is felírta: n! ~ sqrt(2*pi*n)*(n/e)^n.

Tehát akkor: 2^∞ = א‎₁, de közben ez: sqrt(2*pi*∞)*(∞/e)^∞ meg „csak“ ∞?

Azonkívül felírhatjuk: n! = 2^n*… (vagyis a 2^n szorozva „valamivel“, ami 1-nél nagyobb, ha n>3), tehát: ∞! = 2^∞*… = א‎₁*… = א‎₁ (nekem ez jön ki). Most ez hogyan támadható meg?

Ha meg a ∞! ≠ א‎₁, akkor meg miért nem lehet megtámadni a 2^∞ = א‎₁ állítást is valamilyen módon?

A lim[n→∞]2^n most akkor mivel egyenlő? Mert ha a ∞! csak ∞, akkor ezek után mitől több a 2^∞?

Az előző hozzászólásomat olvastad?

א‎₀ és א‎₁ csak a halmazelméletben értelmezhető. Megmondja, hogy egy adott végtelen halmaz és egy másik végtelen halmaz között lehet-e kölcsönösen egyértelmű összerendelést végezni, vagy sem.

A kérdésben szereplő feladat nem halmazelméleti. Nincs semmiféle halmaz a feladatban. A kérdés határérték kiszámítási feladatként értelmezhető csak. Ott viszont nincs א‎₀ és א‎₁, csak olyan van, hogy végtelen.

Nincs értelme א‎₀-ról és א‎₁-ről beszélni ebben a feladatban. Ez olyan, mintha azt boncolgatnánk, hogy a páros vagy a páratlan számok világosabbak-e. Maga a kérdés értelmetlen. A számoknak nincs színűk. Ugyanígy a határérték számításánál nincs א‎₀ és א‎₁, csak olyan van, hogy véges, vagy végtelen.