Miért mindig öt az eredmény a következő műveletsor után?

A válaszokat ezzel könnyebb megtalálni:

[link]

Két részeredmény:

1, Ha b egész szám, akkor (b^3+b^2)^(1/3) egészrésze b, mivel (b^3+b^2)^(1/3) < b+1

2, Ha c=(b^3+b^2)^(1/3)-b, akkor lim(b->inf)c=1/3

A fenti jelölésekkel továbbá sejtésem szerint (számítógépes számolással):

ha f(b)=1/(1/3-c)-9b, akkor

lim(b->inf)f(b)=5, továbbá ez a sorozat monoton növekvő. Mivel f(10)~4.947116, így már csak a fenti állítást kell bizonyítani.

Az általad írt átalakítás jó lesz. Foglaljuk össze:

({}-törtrész, []-egészrész)

Az állítás az volt, hogy

ha b(n) = (n^3 + n^2) ^ (1/3) - n és

c(n) = 1 / (1/3 - {b(n)}) -9n,

akkor 4,5 <= c(n) < 5,5, bármely n 10 és 999 közötti egész számra.

1. állítás:

0 < b(n) < 1/3, így

[b(n)] = 0 és {b(n)} = b(n)-[b(n)] = b(n)

egyrészt

b(n) = (n^3 + n^2) ^ (1/3) - n > (n^3) ^ (1/3) - n = n - n = 0,

másrészt

b(n) = (n^3 + n^2) ^ (1/3)-n < ((n + 1/3) ^ 3) ^ (1/3) - n = n + 1/3 - n = 1/3

2. állítás:

lim (n->inf) (c(n)) = 5

(n^3 + n^2) ^ (1/3) = (n + 1/3 - 1/(9n) + 5/(81n^2) + d(n)) ^ 3), ahol d(n)*n^3=c konstans. (Számolással ellenőrizhető.)

c(n) = 1 / (1/3 - {b(n)}) - 9n = 1/ (1/3 - b(n)) - 9n = 1 / (1/3 - (n^3 + n^2) ^ (1/3) + n) - 9n = 1 / (1/3 - ((n + 1/3 - 1/(9n) + 5/(81n^2) + d(n)) ^ 3) ^ (1/3) + n) - 9n =

= 1 / (1/3 - n - 1/3 + 1/(9n) - 5/(81n^2) + n + d(n)) - 9n = 1 / (1/(9n) - 5/81n^2 + d(n)) - 9n = 81n^2 / (9n - 5 + 81*d(n)*n^2) - 9n = (81n^2 - 81n^2 + 45n + 729*d(n)*n^3 ) / (9n - 5) = 45n + 729c / (9n - 5)

így lim (n->inf) (c(n)) = lim (n->inf) ((45n + 729c) / (9n - 5)) = 5, továbbá ez utóbbi alapján c monoton növekvő.

Megjegyzendő, hogy mivel c(1) > 4,62, a fentiek alapján bármely pozitív egész számra igaz a kiindulási állítás.