Hogy néz ki annak a sorozatnak a (valamelyik) hozzárendelési szabálya amelyik hozzárendeli az összes természetes számhoz az összes racionális számot?

Ez inkább sorozat, mint függvény, mivel az értékkészlet a természetes számok halmaza. Legyen a következő:

f[0]=0

f[1]=1

f[2]=1/2

f[3]=1/3

f[4]=2/3

f[5]=1/4

f[6]=2/4

f[7]=3/4

.

.

.

Tehát úgy kell megszerkeszteni a hozzárendelési szabályt, hogy a számlálót futtatjuk 1-től addig, amíg a nevezőnél 1-gyel kisebb számhoz nem érünmk, ha pedig odaértünk, akkor növeljük a számlálót 1-gyel, és újra futtatjuk a számlálót.

Természetesen ezzel több szám is elő fog fordulni (1/2=2/4=3/6=...), de így az összes racionális szám megszámlálható.

Ahhoz hogy bijektív legyen, jobb oldalon elkezded írni a számokat, de csak azokat írod le ami még nem volt, ami volt azt le sem írod, hanem az utána következőt ha az is volt akkor az az után következőt addig míg olyat nem találsz ami még nem volt:

f[0]=0

f[1]=1

f[2]=1/2

f[3]=1/3

f[4]=2/3

f[5]=1/4

f[6]=3/4

f[7]=1/5

.

.

.

Vegyünk egy végtelenszer végtelen táblázatot melyekbe számok vannak. Az első oszlopba minden számnak egy legyen a nevezője , a másodikban mindnek kettő stb. A legelső sorba minden számnak legyen egy a számlálója, a következő sorban minden számnak legyen kettő stb. Így leírtuk minden pozitív racionális számot (felső táblázat): [link]

Ezután egy félvégtelen (azaz egyik irányba végtelen) fonalra fűzzük fel (második táblázat).

Így minden pozitív racionális számot felfűztük, de mindet végtelen sokszor mert pl 1/2=3/6=10/20 stb. ,de ez nem baj, sikerült megadni egy hozzárendelést ami ugyan nem bijektív. Bijektívvé tehetjük, úgy hogy amilyen értékűt már felfűztünk olyan értékűt többet nem fűzünk fel hanem azt eldobjuk. Az elsőnek felfűzött számhoz az egyet rendeljük, a másodjára felfűzötthöz a kettőt stb.

Igen ám, de csak a pozitív racionális számokhoz rendeltük hozzá a természetes számokat. Ha az összes racionálist fel akarjuk fűzni akkor kezdjük mondjuk a 0-val, utána fűzzük fel úgy mint az előbb, csak minden pozitív szám értékű gyöngyszemet kövessen az ellentettje.

Megjegyzés:

A valós számokat nem lehet felfűzni mert azok számossága kontinuum, míg a racionális számoké és a természetes számoké megszámlálhatóan végtelen.