Valaki meg tudná oldani ezt az elsőrendű differenciálegyenletet?

dx/dt=x(1 − x) − hx

dx/[x(1 − x) − hx]=dt

Mekkő integráni mind a két ódalt.

De mit értesz az alatt, hogy:

"a tóból minél több

halat lehessen kifogni (hosszú idő eltelte után is)?"

Az int(t=0..inf)(x(t)) integrált akarod maximalizálni?

Ahogy #1 írta:

  ∫ 1/((1-h-x)x) dx = ∫ dt = t

A könnyebb írás kedvéért vezessünk be új ismeretlent: m = 1-h (a halak ennyied része marad meg)

Parciális törtekre bontás:

  1 / ((m-x)x) = A/(m-x) + B/x

  A = 1/m

  B = 1/m

Tudjuk, hogy 1/(m−x) integrálja −ln(m−x):

  t = -ln(m-x) / m + ln(x)/m + C

  m·t + C₂ = ln(x/(m-x))

  c·e^(mt) = x/(m-x)

  c·e^(-mt) = (m-x)/x = m/x - 1

  c·e^(-mt) + 1 = m/x

  x = m / [ c·e^(-mt) + 1 ]

Másik megoldás: (végülis nem lett sokkal egyszerűbb, mint a fenti, de ha már megcsináltam, leírom)

Ez egy Bernoulli-féle diff egyenlet.

  x' = mx - x²

A szokásos trükk: Osszunk x²-tel (általánosan x^n-nel)

  x'/x² = m/x - 1

És vezessük be az y=1/x ismeretlent (y=x^(1-n) általánosan)

Annak idő szerinti deriváltja:

  y' = -1/x²··x' = -x'/x²

Behelyettesítve az egyenletünkbe:

  -y' = my - 1

Ez már lineáris diff egyenlet.

  y' + my = 1

Ez egyszerű. A homogén egyenlet általános megoldása C·e^(-mt), az inhomogén egy partikuláris megoldás y=1/m, így a megoldások:

  y = C·e^[-m·t] + 1/m

A reciproka:

  x(t) = m / (c·e^(-mt) + 1)

----

A kérdés az, hogy mi legyen m=1-h, hogy hosszú idő eltelte után is lehessen még halat fogni.

Az x(t) függvény határértéke a végtelenben m, tehát mindig marad hal, nem pusztul ki a tó. (Természetresen h<1, így m>0)

A kifogott halak mennyisége egységnyi idő alatt m·h (hiszen m hal van minden pillanatban egy idő után, aminek a h-szorosát halásszuk le)

h(1-h) maximuma pedig h=1/2-nél van

(ezt már gimiben is biztos megoldottátok a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséggel, de simán le is deriválhatod)