Milyen (x, y) valós számokra teljesül? A,2x^4+2y^4= 4xy-1 b, x^2+ 1/x^2 = 1+2y-y^2

Az elsőnek nem lesz megoldása:

2*(x^4+y^4)=4xy-1

Látható, hogy a bal oldal mindig páros, a jobb oldal pedig mindig páratlan lesz, mivel 4xy biztosan páros, annál 1-gyel kisebb szám pedig páratlan.

Nincs olyan szám, ami egyszerre lenne páros és páratlan, így nincs megoldása.

2. A bal oldalon egy szám és annak reciproka van összeadva. A jobb oldalon egész szám van. Már pedig egy egész szám és annak reciproka csak akkor lesz egész, ha ez a szám az 1 vagy a -1. Tehát x^2=1, vagyis x=1 vagy -1, vagy pedig x^2=-1, ilyen valós szám pedig nincs.

Így x^2=1, vagyis

1+1=1+2y-y^2

2=1+2y-y^2

0=-1+2y-y^2

0=y^2-2y+1, erről pedig tudjuk, hogy (y-1)^2-nel egyenlő:

0=(y-1)^2, vagyis y=1 lesz a megoldás.

Ezzel két számpárt találtunk: (x;y)={(1;1),(-1;1)}.

Ja, én automatikusan egészre oldottam meg. Megszokás :)

Szerintem nem lesz, mivel ha mindkét oldal valamilyen valós szám, akkor létezik egy másik (0-tól különböző) valós szám, amivel mindkét oldal egésszé varázsolható, ekkor az egyik páros lesz, a másik páratlan. Ha pedig nincs ilyen valós szám, akkor alapból nem lesznek egyenlőek (valamelyik oldalból biztosan egészet lehet csinálni).

A másodikat még újból megnézem valós számokra, de szerintem arra sem lesz ennél több megoldás.

Az elsőnek csak komplex megoldása van.

Második:

x^2+ 1/x^2 = 1+2y-y^2

(x-1/x)^2+2 = 1+2y-y^2

(x-1/x)^2 = -y^2+2y-1

(x-1/x)^2 = -(y-1)^2 y =/= 1

[(x-1/x)^2] / [(y-1)^2] = -1

[(x-1/x) / (y-1)]^2 = -1

Nincs ilyen valós szám, kivéve a y=1 x=1 esetet és a y=1 x=-1.

Az elsőnél lehet használni a a k. hatványközép és a mértani közép közti egyenlőtlenséget.

AZ elsőnél a bal oldal mindig nem negatív, a jobb oldalon ez csak úgy lehet, hogy x*y>0 vagyis vagy mindkettő pozitív vagy mindkettő negatív.

Tegyük fel, hogy mindkettő pozitív.

Most felírható a közepek közötti egyenlőtlenség.

gyök( (x^4 + y^4) / 2) >= gyök(x*y)

x^4 + y^4 >= 2*xy

2* (x^4 + y^4) >= 4*xy > 4xy-1

Ezért ennek az egyenletnek biztosan nincs megoldása a valós számok között.

Igen, a >1/4 egy erősebb feltétel.

De a mértani közép alkalmazásához elég annyi, hogy >0.

Mert ekkor feltehetjük, hogy mindkét szám pozitív.

a)Mo:(1/négyzetgyök(2);1/négyzetgyök(2))

(-1/négyzetgyök(2);-1/négyzetgyök(2)) uis

2x^4+2y^4= 4*x*y-1 /:4

(x^4+y^4)/2= x*y-1/4

Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti összefüggést a bal oldali kifejezésre!

(x^4+y^4)/2 >= négyzetgyök(x^4*y^4) = x^2*y^2, tehát a bal oldali kifejezés értéke legalább x^2*y^2.

Továbbá (x*y-1/2)^2>=0 <=> x*y-1/4 <= x^2*y^2, tehát a jobb oldali kifejezés értéke legfeljebb x^2*y^2.

Innen már könnyen belelátható, hogy x*y=1/2 és x=y, azaz x=+/-1/gyök2, y=+/-1/gyök2.

b)Mo: (1;1), (-1;1) uis

x^2+ 1/x^2 = 1+2y-y^2 /:2

(x^2 + 1/x^2)/2 = 1/2*[2-(y-1)^2]

Alkalmazzuk a bal oldali kifejezésre a számtani és mértani közép közötti összefüggést!

(x^2 + 1/x^2)/2 >= négyzetgyök(x^2 * 1/x^2) = 1, tehát a bal oldali kifejezés értéke legalább 1.

A jobb oldali kifejezés értéke legfeljebb 1.

Tehát x^2 = 1/x^2 => x=+/-1 és y=1.

Összefoglalva

Mindkét feladat megoldásánál az egyenletben szereplő függvények értékkészletét kell vizsgálni.