A végtelen nem egyenlő végtelennel?

> „A szócikk utal rá, hogy a végtelen szám furcsán viselkedik..”

A végtelen nem szám, a cikk sehol nem ír olyat, hogy „a végtelen szám”.

> „Ha egy végtelen számú szobával rendelkező szállodában végtelen számú vendég van megszállva, akkor a szálloda aktuális terheltsége pontosan: 0%, mivel végtelenszer több vendéget tud még vendégül látni, mint amennyit éppenséggel vendégül lát...”

Ez jogos, de az sem elítélendő logika, hogy a terheltsége 100%, mivel minden szobája tele van. (Ugye halmazok számosságát akkor szeretjük egyenlőnek mondani, ha létezik köztük bijekció. Például a valós számok, már többen vannak, mint az egészek. Itt írogattam róla egy jó adagot: http://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__termeszettudomanyo.. )

Éppen ezért mondják, hogy a végtelen furcsa.

> „végtelen > bármi más”

Ez nem jó, végtelen < 2^végtelen.

> „végtelen != végtelen”

Ez hülyeség, két egyforma dolog hogy ne lenne egyenlő? Illetve ha ezt feltesszük is, ellentmond a következő kikötésednek.

> „végtelen + végtelen = végtelen (és nem pedig végtelen*2)”

Ha van értelme két végtelen összeadásának (ugye a végtelen továbbra sem szám), akkor hasonlóan lehet értelme annak is, hogy 2*végtelen, ami végtelen + végtelen, ami pont ugyanolyan, mint az egyszerűen csak végtelen vagy a 15*végtelen vaaaagy a végtelen*végtelen, viszont határozottan kisebb, mint 2^végtelen.

Tudod, a végtelen egy furcsa dolog. És innentől kezdve a Hilbert-hotelparadoxon feloldódik.

Egy másik érdekes cikk: [link]

Nem a matematika használja rosszul a végtelen fogalmát, hanem te nem érted. Így azt a hasonlatot sem, ami a fogalmat kívánja magyarázni. A hotel példa alapja, hogy a természetes számok halmaza és a páros számok halmaza ugyanolyan számosságú, miközben az egyik a másiknak valódi részhalmaza.

Egy végtelen halmaz elemeit a klasszikus értelemben nem tudod "megszámolni". Végtelen halmazok esetén így a számosság fogalmát használjuk, és azt mondjuk, hogy két halmaz azonos számosságú, ha elemei között kölcsönösen egyértelmű leképezés létesíthető.

Ez fennáll a természetes számok és a páros számok között az f(x)=2x által.

Na, akkor én is ráteszek egy lapáttal.

Létezik többféle végtelen, sőt, végtelen sokféle végtelen létezik:

[link]

[link]

A nagyobb itt azt jelenti, hogy amíg a kisebbik végtelen (álef₀) mindegyik eleméhez hozzá lehet rendelni a nagyobbik végtelenbb (álef₁) egy-egy elemet (vagyis a kisebbik végtelen „belefér“ a nagyobbikba), addig ez fordítva már nem érvényes:

álef₁ > álef₀

Pl. a racionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen, míg az összes valós számok halmazának már megszámlálhatatlan a számossága, ennek a számossága kontinuum.

[link]

Helyesen:

"A nagyobb itt azt jelenti, hogy amíg a kisebbik végtelen (álef₀) mindegyik eleméhez hozzá lehet rendelni a nagyobbik végtelenből (álef₁) egy-egy elemet (vagyis a kisebbik végtelen „belefér“ a nagyobbikba), addig ez fordítva már nem érvényes:"

"Tegyük fel, hogy egy ilyen hotelben az összes szoba megtelt, olyan sok vendég van."

Ez csak nekem szúrja a szemem?

Mintha egy lyukas vödörre mondanánk azt, hogy teletöltöttük...

Igen, csak neked szúrja a szemed. Az idézett mondat azt jelenti, hogy létezik egy bijektív függvény, amelyik minden szobához egy vendéget rendel.

De ha ez nem tetszik, akkor képzeld azt, hogy minden szobához egy számot rendelünk. Ezt meg tudjuk tenni. Hiszen bármelyik szobára is mutatsz rá, meg tudod mondani a számát.

Csak szóhasználatilag nem volt világos, köszi.

Bijekció, teljes indukció, stb. nem idegen számomra, csak így hirtelen nem tudtam értelemzni a "tele" szót ebben az esetben.

Köszönöm a segítséget!

Egy apróságot hozzátennék. Amikor absztrakt algebrát tanultam, az volt az alapelv, hogy a +/- végtelen a valós számok egy olyan kiterjesztése, melyen csak a rendezés van értelmezve, a műveletek nincsenek.

Más szóval azt mondhatjuk, hogy végtelen > x bármely xeR esetén, de olyat nem mondhatunk, hogy végtelen = végtelen, illetve olyan művelet sincs, hogy végtelen+2 például.

Az effajta kiterjesztésnek jó ellentettje például a komplex számok halmaza, ahol a műveletek vannak értelmezve, a rendezés nincs. Tehát nem leeht arról beszélni hogy 3+2i kisebb-e, mint 4-i.

Jól le van ez tisztázva a matematikában.

Amit te írsz az a bővített valós számok halmaza, a valós analízisben a +/- végtelent általában a sorozatok egyszerűbb kezelése folytán vezetik be.

Megjegyzem, hogy ebben az esetben értelmezünk műveleteket végtelenekkel, amelyek a sorozatok konvergenciájával kompatibilisek.

Például +végtelen + +végtelen = +végtelen definíció szerint, mivel bármely a(n) és b(n) +végtelenhez tartó sorozat esetén a(n)+b(n) is +végtelenhez tart. De például +végtelen/+végtelen nem értelmezhető, mert két +végtelenhez tartó sorozat hányadosa többfelé is konvergálhat.

Egy másik értelmezési mód a halmazelméletben a számosság fogalma, ami a klasszikus számfogalom kiterjesztése, és ez a kiterjesztés a műveleteket is magában foglalja.