Egy pontszerű test 2 m hosszú és elhanyagolható tömegű fonálon függ. Mekkora kezdősebességgel kell a testet ebből a helyzetéből kilendíteni, hogy a függőleges síkban körbeforduljon?

Pont akkora mozgási energiát kell neki adni, amelyből megvan a 4m-rel magasabban levő helyzeti energiája.

1/2*m*v^2=m*g*h

m kiesik, g-t és h-t ismered, a v-t innen már ki tudod számolni.

Gondoltam, valaki majd megoldja helyettem ezt a feladatot, de amit a 21:11-es írt az sajnos nem jó. Ha csak akkora sebességet adunk neki, amennyi ebből kijön, akkor a pálya tetején pont meg kéne álljon, és akkor egyenesen leesik, ami szerintem nem körbefordulás.

Akkora kezdősebességet kell neki adni, hogy a pályája fenti részén is meglegyen a körpályán mozgás feltétele, azaz a centripetális gyorsulása legyen legalább g = v'^2/r. (Ha szeretnéd ezt még majd részletezhetem…)

Így az energia megmaradás:

m*v^2/2 = m*g*(2*r) + m*v'^2/2 = m*g*(2*r) + m*(g*r)/2,

v^2 = 5*g*r,

v = gyök(5*g*r) ≈ gyök(5*(10 m/s^2)*(2 m)) = 10 m/s.

Szóval az a válasz a kérdésre, hogy LEGALÁBB 10 m/s sebességgel kell haladjon a legalsó ponton, hogy körbeforduljon.

Lusta vagyok elolvasni a válaszokat és ellenőrizni, hogy jók-e, szóval inkább írok egyet:

A szóban forgó szerkezet a matematikai inga. l=2 m

A körbefordulás alatt azt a határesetet érti, amikor az ingának pont lesz annyi kinetikus energiája, hogy elérje a körpálya legfelső pontját, ha az megvan, akkor onnan már körben le is jön. Mivel határesetről van szó, ez azt jelenti, hogy abban a pontban minden kinetikus energiája elfogy, tehát csak potenciális lesz. Ebből következőleg pontosan annyi kinetikus energiát kell közölnünk az ingával, hogy az megfeleljen a körpálya felső pontjában lévő potenciális energiával. A kinetikus energia meg csak sebességtől függ, tehát helyben is vagyunk.

T=V

T ~ kinetikus energia

V ~ potenciális energia

Mivel potenciális energia ebben az esetben csak a gravitációs tényezőtől függ, a kinetikus pedig csak a transzlációs tényezőtől, ezért:

1/2 m v^2 = m*g*h

Itt v a keresett v_0 sebesség, a h pedig a kör átmérője, tehát h=2l.

v=sqrt(2g2l)=(4gl)^{1/2}

Ebből láthatjuk, hogy egy matematikai inga körbefordulása csak egy dologtól függ, az pedig a fonál hossza.

Elnézést kérek, helyenként írtam nem helyes dolgokat is.

Az első és az én válaszom eredménye is megfelel a kérdésnek. A kérdés csak azt követeli meg, hogy körbeforduljon és nem azt, hogy egy körpályán menve tegye ezt.

Javítás:

"...akkor onnan már körben le is jön."

Csak lejön, de nem a félkör mentén.

"ha a fonál végén lévő test eléri a körpálya tetejét, akkor a gravitáció onnan már lehozza a körpálya további részén."

Ez nem lesz jó, azt hiszem. Ha a tetőpontig felhasználja a teljes mozgási energiáját, akkor nem lesz érintőirányú sebessége, ezért semmi oka sincs arra, hogy az onnan induló negyedkörhöz egyáltalán hozzákezdjen. Ha felérne a tetőpontig, akkor onnan szabadesésben jönne le. De nem ér fel, mert már előtte átmegy ferde hajításba, és mivel eközben parabolapályán fog haladni, lesz vízszintes sebessége, emiatt nem érheti el a tetőpontot, mert az energiája egy része sebesség alakjában maradt.

Én a "körbefordulást" körpályán való maradásként értelmezem, gyanúm szerint ez volt a feladat kitalálójának a szándéka.

A tetőponton a pillanatnyi kerületi sebességnek elegendőnek kell lennie a test saját súlyának ellensúlyozására képes centrifugális erőhöz. Vagy úgy is mondhatjuk, hogy a tetőponton kötélerő nincs, és a test súlya biztosítja a centripetális erőt.

m·g = m·r·ω²

ω = gyök(g/r) = 2,214

vk = r·ω = 4,43 m/s.

A mozgási energia hozzáadódik a helyzetihez, és ezt fedezi az alsó ponton a mozgási energia.

1/2·m·v1²+m·g·h = 1/2·m·v0²

1/2·4,43+9,81·4=1/2·v0²

v0 = 9,10 m/s.

Ez a MINIMUM. De nem tudom halálbiztosan, hogy a tetőponton nem tér-e parabolapályára, amely metszi a kört. A szimmetria miatt azt hiszem, hogy nem, odafelé is megtartotta a körpályát, egyébként nem ért volna fel.

HIBÁS számítást adtam.

1/2·4,43²+9,81·4=1/2·v0²

v0 = 9,90 m/s.

Elnézést kérek.

> „Az első és az én válaszom eredménye is megfelel a kérdésnek. A kérdés csak azt követeli meg, hogy körbeforduljon és nem azt, hogy egy körpályán menve tegye ezt.”

Ez a megjegyzés különféle értelmezési lehetőségeket vet fel, amik közül az öt legésszerűbbnek tűnőt az alábbi képen részletesen (szájbarágósan részletesen, szóval a kérdezőnek is érdekes olvasmány lehet) taglaltam. Mivel a végeredmény egyik esetben sem egyezik a 16:56-oséval – ami megfelel a kérdésnek –, ezért szeretném őt megkérni, hogy nézze át alaposan, mit rontottam el.

[link]

(Amúgy bárkitől szívesen fogadok megjegyzéseket a gondolatmenetemmel kapcsolatban, aztán igyekszem rájuk érdemben reagálni.)