Kombinatorika kérdés?

1. Ez a binomiális eloszlás normális approximációjára egy példa.

P(az egyik húzásnál pirosat húzunk) = 8/32 = 0.25 (Miért?)

P(100 húzásból k-szor húzunk pirosat) = (100 alatt k) * 0.25^k * 0.75^(100-k)

P(100 húzásból k-szor, vagy (k+1)-szer, vagy... ,vagy l-szer húzunk pirosat) = (100 alatt k) * 0.25^k * 0.75^(100-k) + (100 alatt (k+1)) * 0.25^(k+1) * 0.75^(100-(k+1)) + ... + (100 alatt l) * 0.25^l * 0.75^(100-l), ahol 0<= k < l <= 100

Ez az utóbbi összeg a k és l határokkal határozza meg a kihúzott piros lapok számának valószínűségét, ami most 95% ( = 0.95)

Most alkalmazzuk a normális approximációt a Moivre-Laplace tétellel, amivel ez az összeg így írható fel:

Fi((l - 100*0.25)/négyzetgyök(100*0.25*0.75)) - Fi((k - 100*0.25)/négyzetgyök(100*0.25*0.75)), ahol Fi a norm. eo. eloszlásfüggvénye

Ez a különbség a fentiek szerint 0.95. A probléma azonban az, hogy két ismeretlen is van: k és l. Akkor hogyan kell megoldani???

Fi((25 - 100*0.25)/négyzetgyök(100*0.25*0.75)) = 0.5 Mivel a norm. eo. sűrűségfüggvénye szimmetrikus, a 25-től EGYENLŐ távolságra eső értékeket kell keresni:

Fi((25+m - 100*0.25)/négyzetgyök(100*0.25*0.75)) - Fi((25-m - 100*0.25)/négyzetgyök(100*0.25*0.75)) = 0.95

Tehát most l = m + 25, k = m - 25.

Átalakítva az előzőt:

Fi(m/négyzetgyök(100*0.25*0.75)) + Fi(m/négyzetgyök(100*0.25*0.75)) - 1 = 0.95, felhasználva, hogy Fi(-x) = 1 - Fi(x)

Innen (a normális eloszlás táblázatát és számológépet is használni kell!) m = 8,487 közelítőleg. Mivel a nagyobb biztonságra törekszünk, ezt felfelé kerekítjük, így m = 16, l = 34.

Vagyis 34 és 16 közé esik 95%-os biztonsággal a kihúzott piros lapok száma.

Előző vagyok. Hoppá, van még egy kérdés, ami azért sokkal egyszerűbb az előzőnél:

Itt egyszerűen a norm. eloszlást alkalmazzuk. A komplementer eseménnyel dolgozunk:

P(a hossz LEGFELJEBB 0,1 cm-rel tér el 40 cm-től) = P(39,9 <= hossz <= 40,1) = Fi((40,1 - 40)/0.05) - Fi((40,1 - 40)/0.05) = 2*Fi(0,1/0.05) - 1, az elző feladathoz hasonlóan.

Ez ismét táblázatot és gépet használva: 0,9544. Ezt a kompl. értéket kell kivonni a biztos eseményből, aminek a vsz.-e 1, és kész!