Valaki aki jártas a valószínűségszámításban?

Ferenczy Miklós: "Valószínűségszámítás és alkalmazásai" című könyvében van néhány, ehhez hasonló feladat, azokat felhasználva oldottam ezt meg.

A t paraméterű Student-eloszlást használjuk fel.

Itt p = 1 - 0,98 = 0,02, és n-1 = 16 - 1 = 15. Ezen adatoknál t_p ('p' alsó indexben) = 2,602 (Ezt persze táblázatban néztem meg.)

A konfidencia (magyarul megbízhatósági) intervallum:

31,8 - 2,602*5/√16 <= m <= 31,8 + 2,602*5/√16, ahol m a még ismeretlen várható érték.

Ez egy intervallumbecsléses példa.

n=16

1-p=0,98 => p=0,02

s=5 (szigmával kéne jelölni, de azt most nem tudok írni)

á=31,8 (á itt most a mintaközép)

A kérdés ugye az, hogy meyilk intervallumba esik m 98 százalékkal.

Tudjuk, hogy X nirmáleloszlású, s mivel á=(X_1+X_2+...+X_n)n

Ezért X is normál eloszlású.

M(á)=m

n*D^2(á)=s^2 => D(á)=s/gyök(n)

A trükk az, hogy bevezetünk egy új változót U-t.

ez az U=(á-m)/(s/gyök(n)

Ennek az eloszlása már az y tengelyre szimmetrikus lesz mivel F(x)=FÍ((x-m)/s)

Vegyünk fel egy intervallumot mely egyenlő u_p távolságra helyeszkedik el az origótól, vagyis

P(-u_p<U<u_p)=1-p

P(-u_p<U<u_p)=FÍ(u_p)-FÍ(-u_p)=FÍ(u_p)-(1-FÍ(u_p) )=2*FÍ(u_p)-1

Ebből látszik, hogy FÍ(u_p)=1-p/2

Ha behejettesítjük U-t

P(-u_p<(á-m)/(s/gyök(n))<u_p

kis rendezés után:

P( á-u_p*s/gyök(n)<m<á+u_p*s/gyök(n) )=1-p

Na akkor most induljon a behelyettgesítés

P(31,8-u_p*5/gyök(16)<m<31,8+5/gyök(16))=0,02

és FÍ(u_p)=1-0,02/2=0,99

Itt most meg kell nézni, hogy melyik x-esetén veszi fel a FÍ(x) a 0,99 értéket a táblázat alapján. Én 2,33-mat találtam, szóval

P(31,8-2,33*5/4<m<31,8+2,33*5/4)=0,02

szóval 28,8875<m<34,7125

Remélem nem voltam túl zavaros