Oldjuk meg az egész számok halmazán: 2x^2+3y^2-2x-2y+30=0 ?

Mivel egy egyenlet van, abban két ismeretlen, ezért maximum úgy tudod megoldani, hogy az egyiket kifejezed a másikból.

Pl. ha van egy ilyen egyenleted – két ismeretlennel –, hogy y+2x = 3, akkor ezt úgy tudod megoldani, hogy pl. y-t kifejezed x segítségével. Pont úgy, mintha x helyén egy szám állna:

y+2x = 3

// Kivonunk mindkét oldalból 2x-et:

y = 3-2x

Vagy kifejezheted x-et is y segítségével:

y+2x = 3

// Kivonunk mindkét oldalból y-t:

2x = 3-y

// Elosztjuk mindkét oldalt 2-vel:

x = (3-y)/2

Ilyen esetben arra kell figyelni, hogy osztani, szorozni nem lehet csak úgy, mert osztásnál ugye ha az adott ismeretlen nulla, akkor nullával való osztás lenne. Szorzásnál meg azért gond, mert 0-val beszorozva mindkét oldal nulla lesz, függetlenül attól, hogy az egyenlőség fennállt-e eredetileg. A 4x = 5x esetén így lesz a 4=5, mert az egyenlőség x=0 esetén áll csak fenn.

Valami ilyesmi megoldáson gondolkoztam:

[link]

Eddig nem jött össze.

Amit megadtál linket, ahhoz hasonlót kell csinálni:

2(x^2-x)+3(y^2-2y/3)+30=0

2(x^2-2x*1/2+1/4-1/4)+3(y^2-2y*1/3+1/9-1/9)+30=0

A zárójeles kifejezésekben megjelennek teljes négyzetek:

2[(x-1/2)^2-1/4]+3[(y-1/3)^2-1/9]+30=0

A szögletes zárójelet felbontjuk:

2(x-1/2)^2+3(y-1/3)^2+30-1/2-1/3=0

Az abszolut tagokat összevonjuk és a jobb oldalra visszük:

2(x-1/2)^2+3(y-1/3)^2=-175/6

Azt kell látnunk, hogy a baloldal soha nem lehet negatív szám hiszen két négyzetszám többszörösének az összege, a jobboldal meg eleve negatív.

A válasz tehát az, hogy ennek az egyenletnek a valós számok közt nincsen gyöke.