A) Igazoljuk, hogy (x+y+z) ^3- (x^3+y^3+z^3) =3 (x+y) (y+z) (z+x) b) Oldjuk meg az egész számok halmazán!? X+y+z=7, x^3+y^3+z^3=1

Külön külön kiszámítod a két felét:

Először kiszámítod az első felének az első felét:

először az (x + y)-t jelölőd t-vel.

(a + b)^3 = a^3 + 3(a^2)b + 3(b^2)a + b^3 rövidített számítási képletet alkalmazod.

(t + z)^3 = t^3 + 3(t^2)z + 3(z^2)t + z^3

...

Most visszahelyettesíted t helyére x + y-t

(x + y)^3 + 3((x + y)^2)z + 3(z^2)(x + y) + z^3 =

= x^3 + 3(x^2)y + 3(y^2)x + y^3 + 3(x^2)z + 3(y^2)z + 6xyz + 3(z^2)x + 3(z^2)y + z^3 =

....

= x^3 + y^3 + z^3 + 3x²y + 3x²z + 3y²x + 3y²z + 3z²x + 3z²y + 6xyz

....

Ebből most kivonjuk a (x^3 + y^3 + z^3)-t, és a bal oldal eredménye:

3x²y + 3x²z + 3y²x + 3y²z + 3z²x + 3z²y + 6xyz

Most megoldjuk a jobb felét:

3 (x+y) (y+z) (z+x) = (3x + 3y)(y + z)(z + x) =

= (3xy + 3xz + 3y^2 + 3yz)(z + x) =

=3xyz + 3(x^2)z + 3(y^2)z + 3(z^2)y +

+ 3(x^2)y + 3(x^2)z = 3(y^2)x + 3(xyz) =

= (3x^2)y + (3x^2)z + (3y^2)x + (3y^2)z + (3z^2)x + (3z^2)y + 6xyz

....

Láthatjuk, hogy a két fele egyenlő, szóval igazolva van.

....

2) Oldjuk meg az egész számok halmazán:

x + y + z = 7

x³ + y³ + z³ = 1

..

Az (1) egyenletet a 3.-ra emeled, és kivonod belőle a második emeletet. .

(x + y + z)^3 - (x^3 + y^3 + z^3) = 7^3 - 1

...

Látható, hogy a fenti egyenlet bal fele, éppen az mint a másik bal fele, ezért helyettesíthetjük annak jobb felével. (Ezt bizonyítottuk az előbb)

3(x + y)(y + z)(z + x) = 49*7 - 1

3(x + y)(y + z)(z + x) = 343 - 1

3(x + y)(y + z)(z + x) = 342

Végigosztunk 3-al

(x + y)(y + z)(z + x) = 114.

Ha az egész számokon keressük a megoldás, akkor

x + y = a

y + z = b

y + x = c

is egészek.

Innen már te is megtudod oldani, remélem.