Prímszámokkal kapcsolatban lenne egy kérdésem, tudod a választ?

Legyen a szomszédos prím p+k nagyságú, ekkor

p+k-p>(ln p)^2, vagyis

k>(ln p)^2, ekkor

e^(gyök(k))>p

Tehát, ha megadjuk k-t (ami jobbára páros, mivel ha p nem 2, akkor p páratlan, így különbségük páros), akkor behatárolható p értéke, például legyen k=16, ekkor

e^(gyök(16))=e^4=~54,6>p>10, tehát a lehetséges megoldások: 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; ezek között nincs megoldás, így 16-os távolság nem lesz 2 szomszédos prímszám között.

Gyanítom, hogy ilyen prímszám nem lesz, de ne legyen igazam :)

Írtam egy kis programot, és lefuttattam 10.000.000 alatti számokra. Nem talált semmit.

Aztán játszottam egy kicsit azzal, hogy ne egy változó különbséget keressünk, hanem egy fix értéket, tehát keressük meg az első olyan prímpárt, melyek különbsége minimum 100. Vagy 150. Ez egy kulcsmomentum, mert minél nagyobb a különbség, annál nagyobb számú iterációt kell végrehajtania a programnak egyre nagyobb számokkal, és az idő exponenciálisan nő. Az a bosszantó probléma, hogy például az első két prímszám, ahol minium 150 a két prím különbsége, az a (4652353; 4652507), ezt kb 2 percig tart megtalálni a programnak. Ekkor a te követelményed már minimum 236-os különbséget ír elő. Fix 200 különbséget 5 perc alatt sem talált, aztán meguntam a futtatást.

Ha akarod, megkapod a kódot, és akkora felső limitet állítasz be, amekkorát akarsz. De lehet, hogy egy hétig futtatod a programodat, és tízmilliárdos felső limit alatt egy számpárt se találsz, amire igaz volna kitételed.

Régebben olvastam egy cikket, szerencsére megtaláltam:

[link]

Eszerint, amit megadtam összefüggést, ott k>=70.000.000, vagyis e^gyök(70.000.000)=

[link] ekkora lehet p maximális értéke. Igen nagy szám, de legalább sikerült belőnünk egy maximumot. Amíg ez az ügyes matematikus nem áll elő kisebb különbséggel, addig ezzel kell beérnünk.