A vonal egy vagy többdimenziós?

A pont nem egydimenzios, hanem nulla.

A vonal az egydimenzios, mivel egy origohoz viszonyitva (amit amugy akarhol kijelolhetsz rajta) egy tavolsaggal meg lehet adni barmilyen pontjanak koordinatajat.

A sik ketdimenzios, mert ott egy origohoz viszonyitva ket koordinataval lehet megadni egy pontot.

A ter meg harom dimenzios, mert ott harom koordinata kell.

Kapis?

A dimenzió azt határozza meg, hogy az adott „térben” hány egymástól !független! paraméter kell egy pont pontos és egyértelmű meghatározásához.

A tér három dimenziós, mert három paraméter kell egy pont egyértelmű definiálásához, az x, y és z koordináta. Persze nem feltétlenül kell így kifejezni egy pont helyét, meg lehet adni máshogy is, de mindenképpen három érték kell egy pont meghatározásához.

Egy sík felület két dimenziós, mert két paraméter kell egy pont meghatározásához, mondjuk egy x és y koordináta. Akkor itt most legyen példaként egy másféle meghatározás, pl. legyen a síkban meghatározva egy origó, meg egy kitüntetett irány. Meg lehet határozni a pontot az origótól való távolsággal, és az alap irányhoz képest bezárt szöggel is. Mondjuk ha a földfelszín egy síknak tekinthető kis részét vesszük – pl. egy város térképét, ami jó közelítéssel sík –, akkor meg lehet adni úgy is, hogy a városházától való távolság, és az északhoz képest bezárt szög, például: A városházától délkeletre (135°-ra az északi iránytól), attól 500 m távolságra.

De maga a Föld felszíne – ha az egyszerűsítés kedvéért tökéletes gömbnek vesszük – szintén kétdimenziós, még akkor is, ha az a harmadik dimenzióban görbült, hiszen a felszínen két paraméterrel megadható bármilyen pont, ha a felszínen maradunk és nem számolunk magassággal. Pl. meg lehet adni egy pontot a szélességi és hosszúsági fokkal.

Az vonal – egyenes – egy dimenziós, mert egy paraméter elegendő a pont meghatározásához. Ha van egy végtelen egyenesed, akkor elég egy pont megadásához az origótól való távolság megadása. A számegyenesen – ami ugye végtelen – meg tudunk határozni egy pontot, mondjuk azt mondjuk, hogy ez a pont a +4, vagy egy másik pontot: -3,872.

Persze egy térben is meg lehet határozni egy pontot kettőnél több paraméterrel. Pl. a szobában a padlótól 2 méterre, a plafontól 1,5 méterre, az ajtótól 3 méterre, az ablaktól 4 méterre, a szekrénytől 2 méterre, stb… De ha megnézed ezeket a paramétereket, akkor kiderül, hogy nem függetlenek. Három elegendő ahhoz, hogy a többit meghatározd. Pl. a padlótól való távolság meghatározza a plafontól való távolságot is egyben.

A vonal tehát egy dimenziós. Még akkor is, ha a vonal esetleg síkban vagy térben görbült. Azért, mert egy kitüntetett ponthoz – origóhoz – képest egy paraméterrel egyértelműen meg lehet határozni egy pontot.

A pontnak nincs dimenziója. Egy pontban csak az az egy pont létezik. Minden más pont ugyanerre a pontra illeszkedik, megegyezik azzal a ponttal. Pont ezért nem kell semmiféle paraméter ahhoz, hogy meghatározd a helyzetét, hiszen minden pont ugyanott van ebben a „térben”.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

> ha már irány, akkor legalább 2 (előre hátra) különben nincs értelme irányról beszélni.

> hiszen jobb és bal? de mihez képest jobb? és bal? egy középponthoz képest? az lehetne, de az meg a vonalnak nincs. nincs közepe, mert végtelen.

Mikor egy pontot meghatározunk egy „térben”, akkor valamihez képest határozzuk meg a helyzetét. Hogy mihez képest, az tulajdonképpen önkényes. Meghatározunk egy origót. Hogy hogyan? Hát megszavaztatjuk a néppel. Vagy autokrata módon meghatározzuk mi magunk. Pl. a Földfelszínen mihez képest mérjük meg egy pont helyét? Jó, az egyenlítő valamennyire kitüntetett a Föld forgása miatt, de akár mérhetnénk az Északi- vagy Déli-sarkhoz képest. De hogy a hosszúsági fokot mihez képest határozzuk meg? Ugye a kezdő hosszúsági körhöz képest, ami a greenwichi obszervatóriumon halad keresztül. Miért pont azon? Valamihez képest mérni kell. Lehetne más is, sőt egy időben voltak alternatív délkörök is, pl. a franciák a Párizsi délkört használták. Voltak, akik a Rómán áthaladó délkörhöz képest térképeztek, stb… (Lásd: [link] )

A lényeg, hogy ahhoz, hogy mérni tudj egy végtelen „térben”, ki kell jelölni egy fix pontot, és esetleg irányokat. Egy vonalon kijelölöd az origót, meg az, hogy merre van a pozitív irány. Ha ez megvan, egy paraméterrel meghatározható minden pont az origóhoz képest.

> hiszen jobb és bal?

> ha már kettő .... akkor egy dimenzió?

Nem, mert az egyik paraméter függ a másiktól. Ha az általános iskolában felrajzolt számegyenesre gondolsz, akkor azon lehet egy pont balra 3 cm-re (ez a -3), meg lehet jobbra 4 cm-re (ez a +4). De nem lehet egy szám az origótól balra 2 cm-re ÉS jobbra 3 cm-re. A balra és jobbra általában mindig pozitív számot jelent. De jelenthetne negatív számot is. Pl. a +7 az origótól balra 7 cm-re és jobbra -7 cm-re van. A két paraméter ugyanúgy, ugyanazt határozza meg, ha az egyiket megadom, a másik is meg lett adva, függ az első megadott paramétertől a második.

> mi a vonal? végtelen sok pont.

> ezt már anno a suliban se bírtam felfogni.

Mert alapvetően hibás megközelítéssel tanítják, bár valahol érthető. Egy idő után el kell vonatkoztatni az analógiáktól, a tényleges tapasztalatoktól ahhoz, hogy megértsd.

Mikor pontot rajzolunk, az bizony nem 1 dimenziós, hanem ugyanúgy 3 dimenziós, mint minden a mi világunkban. A rajzolt pontnak van sugara, de akár grafit, akár tinta, még magassága is van. Oké, az adott mérethez – füzet – képest valóban elhanyagolható, de mégis valahogy így képzeljük el a pontot, mint nagyon-nagyon-nagyon kicsi kört. Mikor a tanítónéni vagy bácsi azt mondja, hogy a vonal végtelen sok pontot tartalmaz, akkor Pistike elképzeli, hogy végtelen sok pontot tesz a lapra. De hogy egy véges szakasz, mondjuk egy 2 cm-es is végtelen sok pontból áll? Hát Pistike kipróbálja, rajzol egy raklap pontot, és egy idő után már ott a homogén szakasz, több pont már nem fér oda. Mi az, hogy végtelen sok pontból áll? Hiszen ő lerajzolta véges sok ponttal azt a nyamvadt szakaszt.

Mi az, aminek nincs kiterjedése? Például egy metszéspontnak. Képzelj el egy rúd kolbászt. De legyen ez a kolbász teljesen homogén. Felejtsd el azt is, hogy atomokból áll, nézzük úgy ezt a kolbászt, mintha műanyagból lenne, és akármennyire nagyítasz rá, nem látsz atomokat, ugyanúgy folytonos, homogén. Oké, ennek a rúdnak van vastagsága is. Sebaj, ez most minket nem érdekel, mi csak hosszirányban vizsgáljuk a dolgot.

Legyen egy pont egy metszés ezen a rúd kolbászon. Fogod a kést, kettévágod. A vágás legyen teljesen ideális (a késnek nincs vastagsága, bármilyen vékony szelet kolbászt ketté tudsz vágni). Ez a metszéspont egy pontot jelent. Oké, ennek a vágási felületnek is van vastagsága, de hosszirányban vizsgáljuk a dolgot, úgy meg nincs vastagsága. Akármilyen kis rúd kolbászdarabod van, azt ketté tudod vágni. A megmaradt részt is ketté tudod vágni. A megmaradt részt is ketté tudod vágni. Végtelen sok kettévágást tudsz csinálni. Illetve két pont közé bármikor be tudsz illeszteni egy újabb pontot, mint ahogy bármekkora kis kolbászdarabod is van, mindig ketté tudod vágni. Tehát a kolbász felfogható végtelen számú potenciális kettévágási helynek. Jó, de hol a kolbász? A kolbász nem érdekes. Minket a kettévágási pontok érdekelnek, ha ezekkel megnéztük, hogy mi hogyan működik, a kolbászt utána kivesszük az egész rendszerből, ami ott marad, az a kettévágások helye. A kolbászt meg megesszük tízóraira.

#14: Például a végtelen fogalmának megértése nem jön rosszul, ha végtelenül kicsi és végtelenül sok mennyiséget kell összegezni. Máris az integrálszámításnál vagyunk, amit azért erősen használni szoktunk. Az ilyen-olyan dimenziók megértése meg előfeltétele mondjuk egy relativitáselméletnek. Jóval bonyolultabb és összetettebb matematika is létezik, sok úgy alakult ki, hogy azt gondolták, hogy az égvilágon semmi haszna nem lesz. Ha jól rémlik például Leibniz büszke is volt arra, hogy olyan dolgokkal foglalkozik, aminek soha nem lesz gyakorlati felhasználása, nevezetesen például a kettes számrendszerben történő számolással, vagy prímtényezőkre bontással. Ma ezen alapszik a számítógép, meg a titkosítás. A kvantummechanikához is kell nem kevés matek. Mire jó? Gondolj csak a félvezetőkre…

Szóval ha szerinted felesleges a matematika, akkor kapcsold ki a számítógépet, dobd el a mobiltelefonodat, add el a kocsidat, olvass és járj gyalog vagy szekérrel…

#15: Például arra jók a nyelvtani szabályok összegyűjtése, hogy van egy alap, amihez közelíteni lehet. Ez garantálja azt, hogy nem ír minden ember máshogy, hogy értjük azt, amit a másik leír, hogy értjük azt is, amit 50 éve írtak le. Nézd már meg a chat szlenget. Kitalálnak emberek mindenféle rövídítéseket. 10-20 év alatt oda jutott a dolog, hogy annyi rövidítés, szófordulat született, hogy jó, ha a felét ismeri egy-egy ember. Sokszor ugyanannak a rövidítésnek több értelme van, néha ugyanazt többféleképpen rövidítik. És ez még csak 10-20 év. Ha hagynánk menni az egészet a maga útján, ha bekerülne a köznapi írásba, beszédbe is mindez, ráadásul szabályozatlanul, akkor 3-4 generáció, és teljes a káosz…

Gratulálok kérdező! Nagyon kíváncsi lennék 8 év után meddig jutottál? Hagytad -e, hogy megmondják neked mennyire lehetsz okos?

Remek kérdés, és igazad van. Az itt felvezetett látványos kritikák túlnyomó része elemi logikával megcáfolható.

A vonal egydimenziós, mert egy pont helyzete rajta egy koordinátával imeghatározható. Tényleg? De mit is takar ez az előjeles koordináta? Hogyan is határozná meg a helyzetét egy okoska, ha számára csak az egyenes létezne? Miért is beszél Einstein téridőről, nem csupán térről?

A magyarázatokban kifejtik, hogy mi miért van, utána megállnak. Előttük a megoldás, de nem látják. Téged viszont oktatnak.

Remélem, nem hittél nekik!

Köszönöm, kérdező.