A 2+4x+6x^2+8x^3+. Végtelen sor 2/ (1-x) ^2-hez konvergál, de csak a ]-1, +1[-on?

Igen.

[link]

Először is a 2+4*x+6*x^2+8*x^3+... végtelen hatványsor SZUMMA (n=1->végtelen) (2n+2)*x^n zárt alakban írható fel. Ezért ez egy 0 középpontú hatványsor (x-x_0 miatt most x_0=0).

A konvergenciasugár egyfelől a Cauchy-Hadamard-tétel felhasználásával 1/R=lim (n->végtelen) (2n+4)/(2n+2)=1, ahonnan R=1, vagyis -1<x<1 (itt még külön meg kellene nézni a határokat, egyiknél sem lesz konvergens).

Másfelől rögzített x mellett a fenti sor felfogható egy mértani sornak is q=x választással, amelyről viszont tudjuk, hogy csak qe]-1;1[ esetén konvergens.

A sorösszeg már egy következő probléma.