Adjuk meg egy M tömegű bolygó körül r sug. Körpályán keringő mesterséges hold keringési idejét! Bizonyítsuk be, hogy egy a bolygó felszínéhez közel (r=rb) keringő műhold esetében a keringési idő csak a bolygó átl Sűrűségétől függ és mástól független?

Azt biztos tanultad, hogy egy test akkor végez egyenletes körmozgást, ha a gyorsulása a mozgása során végig a kör középpontja felé mutat, és a gyorsulás nagysága r*ω^2.

Ugye ω = 2*π/T, tehát a műhold gyorsulásának nagysága a = r*(2*π/T)^2.

A műholdra csak a bolygó gravitációs ereje hat, Newton II. törvénye ezek szerint azt mondja, hogy

m*a = F,

m*r*(2*π/T)^2 = γ*m*M/r^2.

Ebből ki tudod fejezni T-t (ugye m kiesik, minden más meg adott, γ a gravitációs állandó).

A feladat másik részében ugye r a bolygó sugarát jelenti. Ha a bolygó gömb alakú, akkor V = 4*π/3*r^3. (Ha nem gömb alakú, akkor is r^3-bel arányos.) Ez a térfogat megjelenik a bal oldalon, ha r^2-tel szorzol. Ha pedig osztasz M-mel, akkor a ρ = M/V sűrűséget is megkapod. Ekkor már csak a sűrűség és a keringési idő, valamint konstansok maradnak a képletben, és kész vagy.