Tudna mondani valaki érdekes paradoxon példákat?

Egy faluban a bíró a következő rendelkezést hozta: -ezentúl a borbély azokat és csak azokat borotválhatja meg, akik nem tudnak borotválkozni. Borotválkozhat-e a borbély?

Képes-e egy mindenható lény olyan nehéz követ teremteni, amelyet senki sem bíz felemelni? Képes, hiszen mindenható. Másrészt viszont ez nem lehetséges, hiszen, ha képes lenne, akkor lenne valami, amit nem tud megtenni- nem lenne képes felemelni a követ.

Akhilleusz és a teknősbéka.

Ahhoz, hogy A-ból eljussunk B-be, előbb meg kell tenni AB út felét. Ehhez azonban előbb meg kell tenni az út negyedét, ahhoz viszont előbb az út nyolcadát, és így tovább. Így vizsgálódva az látjuk,hogy a mozgás el sem kezdőzhet.

1 óra alatt meg lehet nevezni az összes természetes számot. Elegendő ehhez, ha az első fél órában az első számot nevezzük meg, a következő negyedóra leforgása alatt a második számot, az utána jövő nyolcad óra idő alatt a harmadikat és így tovább.

Protragorasz-paradoxon.

Rengeteg ilyen van...

Ugye a klasszikus: Ez mondat egy hazugság.

Ez még némileg feloldható lenne, ha a mondatok igazságtartalmát nem csak igazra vagy hamisra értékelhetjük, hanem határozattlanra, paradoxonra is. A mondat egy paradoxon, tehát nem hazugság ahogy azt magáról állítja, de nem is igazság.

Aztán ott a borbély esete: A katonaságon az a rendelet, hogy akit a borbély borotvál, az nem borotválhatja meg önmagát. Aki viszont önmaga borotválkozik, azt nem borotválhatja meg a borbély. Hogy a borbélyt veszed igénybe, vagy önmagadat borotválod, azt a sorozáson el kell dönteni, az már nem változtatható meg. A kérdés, hogy a borbély megborotválhatja-e önmagát…

Ez is feloldható valamennyire, mondván, hogy egy betarthatatlan szabályról van szó. Vagy úgy, hogy ilyen szabályt nem lehet hozni, vagy hogy ilyen katonaság nincs.

Szerintem az egyik legérdekesebb: Katalógust akarunk készíteni azon könyvekről, amelyek nem tartalmazzák önmaguk címét. Mondjuk ennek a katalógusnak az legyen a neve, hogy „Az önmaguk címét nem tartalmazó könyvek katalógusa”. Oké. A katalógusról tudjuk, hogy elég vaskos lesz, így könyv formájában fogjuk megjelentetni. Idővel dönteni kell, hogy ennek a katalógus könyvnek benne kell-e lennie a katalógusban. Ha nem tartalmazza önmaga címét, akkor bele kell írni, ergo tartalmazni fogja önmaga címét, tehát semmi keresnivalója nincs a katalógusban…

Ez azért érdekesebb talán, mert kizárólag két kategória van. Vagy benne van a katalógusban önmaga címe, vagy nincs. Nem lehet azzal megkerülni, hogy csinálunk egy harmadik kategóriát. Azzal sem lehet megkerülni a kérdést, hogy ilyen katalógus nincs, vagy nem „szabad” ilyet készíteni. A könyveknek ez egy jól „mérhető” tulajdonsága, hogy tartalmazza-e önmaga címét, vagy nem. Semmi nem indokolja, hogy miért ne lehetne egy ilyen katalógust elkészíteni, és könyv formátumban kinyomtatni.

Ez a matematikában elég nagy fejtörést is okoz. Próbálják valamilyen szinten ezt is kompenzálni, pl. osztályokat hoznak létre stb… Mondjuk vannak elemek (pl. tárgyak). Ezekből lehet halmazt csinálni. A halmazokból már csak egy magasabb szinten lehet halmazt csinálni, így elkerülhető, hogy a halazok ne tartalmazzanak a saját szintjükkel egy szinten lévő halmazokat, mint elemeket. Ez egy relatíve jó módja, hogy elkerüljük a paradoxonokat. Viszont az élet nem ilyen. Rengetegszer használunk önmagukra hivatkozó kijelentéseket. Pl. hivatkozhatok most itt a saját válaszomra, amit éppen írok. A hétköznapokban tele vagyunk ilyen kijelentésekkel, míg a matematika – elkerülendő a paradoxonokat – tiltja az ilyen kijelentéseket. Szóval valami nagyon nem stimmel a halmazok világával. Szinte már-már misztikus ez a probléma.

Egy krétai ember kijelentette: "Minden krétai hazudik!"

Hihető a mondat vagy sem???

Kedvencem au "olcsó ló":

Köztudott, hogy az olcsó lovak ritkák.

Nem kevésbé köztudott, hogy a ritka dolgok drágák.

Egy olcsó ló tehát drága!

(Természetesen a lovat lehet ékszerrel, házzal, vagy bármi mással helyettesíteni...)

A Curry/Löb paradoxon is érdekes dolog. Hogy egy önhivatkozással és némi formális levezetéssel, bármi bizonyítható. Ezzel igencsak vissza szoktak élni az áltudományból megélő delikvensek.

[link]

Vagy a végtelen csoportokkal dolgozó Hilbert Grand Hotel-paradoxonja:

Egy hotelben ha minden szobát kiadnak, akkor nem tudnak több vendéget elhelyezni, akkor megtehetik azt, hogy bezárják kapuikat, vagy a betérőt az egyik vendég helyére teszik be. De most képzeljünk el egy olyan szállodát, amelynek végtelen sok szobája van, vagyis a szobaszámok 1-től kezdve folyamatosan növekednek, és nincs olyan szoba aminél nem lenne egy nagyobb számmal rendelkező. A szállodának van egy hangosbemondó rendszere is, amelyen keresztül a portás az összes vendégnek tud üzenni egyszerre. Tegyük fel, hogy egy ilyen hotelben az összes szoba megtelt, olyan sok vendég van. A kérdés, hogy ha jön még egy vendég, el kell-e küldeni? A józan paraszti ész szerint igen, hisz megtelt a szálloda, a végtelen számú helyet végtelen számú személy elfoglalta.

De mégsem ez történik. Az új vendég elhelyezéséhez a portásnak csak annyit kell tennie, hogy bemondja: minden vendég költözzön át az eggyel nagyobb számú szobába. Az a vendég, aki eddig az 1-es szobában lakott, átköltözik a 2-esbe, amelynek eddigi lakója a 3-asba megy át, és így tovább. Így az 1-es szoba felszabadul, és az új vendég beköltözhet és a probléma megoldva.

Ez az alapszitu és feloldás ennek számos kiterjesztése is van:

Ha a portás a megdolgozik a pénzéért akkor teljesül. A lefekvés előtti utasítás a következő. Mindenki tegye a szobaszámát 2 kitevőjébe, és költözzön át az így kapott számú szobába. Vagyis, aki eddig az n-edik szobában lakott az most elköltözik a 2n sorszámú szobába. Könnyen igazolható, hogy a kettő hatványok között tetszőlegesen nagy hézagok vannak. (Az n-edik szoba lakóit küldhettük volna az n-edik prímszám sorszámú szobába is, de akkor sokat kellett volna számolniuk a vendégeknek, és a megoldás helyessége is kicsit nehezebben bebizonyítható.)

Sőt ha tovább bonyolítjuk akkor nem csak egy, hanem tetszőleges számú akár végtelen utast is elhelyezhetünk, egy hasonló szállodában. Tegyük fel, hogy beérkezik egy kis rózsaszín tricikli ami egy utánfutót vonszol maga után, amin szintén végtelen számú ember van és az utánfutó is teli van. A feladat el kell helyezni őket a végtelenített szállodában, ahol továbbra is teltház van. Az előző eljáráshoz hasonlóan fogunk eljárni, csak most nem eggyel odébb, hanem a kétszer akkora számúba küldjük el, az 1-est a 2-esbe, a 2-est a 4-esbe etc. és a felszabaduló végtelen sok helyre beülhetnek az új vendégek, az 1-esbe, 2-esbe etc..

Viszont ugyanez megoldható végtelen sok ilyen utánfutóval is. a portás ugyanazt mondja be, mint előbb, majd az első utánfutó elől a 3^n számú szobákba költözteti (ahol n az ülés száma), a második utánfutó utasait az 5^n számú szobákba, a harmadik busz utasait a 7^n számúakba, és így tovább, az i-edik busz utasait a P.i^n számúba, ahol P.i az i+1-edik prímszám. Ugyanis a prímszámok hatványai mindig páratlanok (tehát már bentlakó szállóvendégekkel nem lesz ütközés) és tudjuk különböző prímszámok hatványai mindig különbözőek,tehát a vendégek sem tépik meg egymást pusztán emiatt. Így ráadásul még üres szobák is maradnak szép számban, örülhet a portás, besöpörhet majd némi prémiumot a végtelen bevételből:)

Végtelen sok plató egy lehetséges rendezése

Vegyük észre, hogy azzal, hogy az utasokhoz egész számokat (prímhatványokat) rendeltünk, tulajdonképpen egyetlen végtelen sorba állítottuk őket, és visszavezettük a feladatot az előzőre, amikor csak egy spéci platót vonszolt a rózsaszín bicaj . Ilyen sorba állítás sokféleképpen lehetséges. Az egyik, más bizonyításoknál is előszeretettel alkalmazott módszer, hogy sorban egymás alá felírjuk a buszok utasait, majd egy spirálvonallal összekötjük őket. A vonal egyértelműen meghatározza a sorrendet.

Végül tegyük fel, hogy jön ismét egy plató, de ezen véges számú vendég van, csak nekünk fogalmunk sincs mennyi, de viszont ragaszkodnak hozzá, hogy egymás mellett szobákat kapjanak, mert mondjuk a Svájci tengerészettől vannak itt, hogy tanulmányozzák Seborgia élvilágát, amint elhagyták a brit felségvizeket. Éjszaka jönnek és egy luxusszállóban mégsem űzhetjük ki, vagy költöztethetjük át a vendégeket, most mit tegyünk?

Ha a portás a megdolgozik a pénzéért akkor teljesül. A lefekvés előtti utasítás a következő. Mindenki tegye a szobaszámát 2 kitevőjébe, és költözzön át az így kapott számú szobába. Vagyis, aki eddig az n-edik szobában lakott az most elköltözik a 2n sorszámú szobába. Könnyen igazolható, hogy a kettő hatványok között tetszőlegesen nagy hézagok vannak. (Az n-edik szoba lakóit küldhettük volna az n-edik prímszám sorszámú szobába is, de akkor sokat kellett volna számolniuk a vendégeknek, és a megoldás helyessége is kicsit nehezebben bebizonyítható.)

Végül eszembe jutott még egy másik kehhez csak érintőlegesen kapcsolódó paradoxon:

A Grand Hotel kapcsán azt is szemléltetni lehet, hogy a teljes indukció, a bizonyítás egy széles körben elterjedt alkalmazott módszere csak egy irányba működik, és feltétlenül szükség van hozzá egy nulladik lépésre. Tegyük fel ugyanis, hogy a szállodában nem szabad dohányozni, sőt szivart még behozni sem szabad, aki behoz, azt a SAS harminc évig német viccek hallgatására ítélik. Ennek ellenére egy megtelt szállodában minden vendégnél van egy-egy szivar. Hogyan lehetséges ez? Az 1-es szobában lakó vendég a 2-esben lakótól kapta. Az viszont kettőt kapott a 3-as lakójától, egyet megtartott magának, egyet továbbadott. A 3-asban lakó hármat kapott a 4-es szoba vendégétől, aki viszont négyet kapott, és így tovább. Nem jutunk ellentmondásra, a bizonyítás mégis hibás, mert hiányzik az indukció nulladik lépése, annak előfeltétel nélküli igazolása, hogy valakinél valamikor kellő számú szivar volt.

Ha már eszembe jutott a bizonyítási eljárások, akkor még ezt is megmutatnám:

[link]

1.: Ez a kijelentés hamis.

2.: Az előző kijelentés igazságértéke megegyezik a következőével.

3.: Ez a kijelentés hamis.

Találós kérdés: mi a 2. kijelentés igazságértéke?

Most valószínűleg azt gondoljátok, hogy a 2. igaz és az 1. és a 3. kijelentés igazságértéke se nem igaz se nem hamis, mert paradoxon.

Én viszont biztosra mondom, hogy a 2. kijelentés pontosan hamis.

Ki tudja miért? :)