Ezt a határértéket hogy lehet kiszámítani?

Először sejtsük meg, hogy 0-hoz tart. Ha ez megvan, akkor használhatjuk a csendőrszabályt, ehhez kell két függvényt keresnünk; az egyik egy bizonyos x-től mindig kisebb lesz, a másik mindig nagyobb, de ennek a két függvénynek a -végtelenben 0-nak kell lennie a határértéküknek.

Legyen az alulról becsülő függvény nemes egyszerűséggel a 0 függvény. Most nézzük meg, hogy mikortól lesz az eredeti függvény nagyobb (vagy egyenlő), mint 0:

(1+x^2)^(1/2)+x≥0 /-x

(1+x^2)^(1/2)≥-x /ha x≥0, akkor biztosan teljesül az egyenlőtlenség, mivel a bal oldal pozitív, a jobb oldal nempozitív, így az x<0 eset érdekes számunkra; ekkor mindét oldal pozitív lesz, így a reláció nem változik:

1+x^2≥(-x)^2=x^2, vagyis 1+x^2≥x^2, ez pedig tetszőleges x-re igaz.

Most keressünk egy felülről becslő függvényt; legyen -1/x, ekkor ennek bizonyos x után mindig nagyobbnak kell lennie:

(1+x^2)^(1/2)+x≤-1/x /szorzunk x-szel, de mivel ez negatív, ezért a reláció megfordul:

x(1+x^2)^(1/2)+x^2≥-1 /-x^2

x(1+x^2)^(1/2)≥-1-x^2 /jobb oldalon kiemelünk -1-et

x(1+x^2)^(1/2)≥-(1+x^2) /:(1+x^2)^(1/2)

x≥-(1+x^2)^(-1/2) /négyzetre emelünk, és mivel mindkét oldal negatív, ezért fordul a reláció:

x^2≤1+x^2, ami igaz tetszőleges negatív x-re (ez az alak pozitív x-re is igaz, viszont pozitív x esetére a végeredmény x^2≥1+x^2 jött volna ki, ami persze nem igaz).

Ez a két függvény a -végtelenben 0-hoz tart, és mivel az eredeti ezek között van, a rendőrszabály miatt ez is 0-hoz fog tartani.