Véletlen egybeesés, hogy a kör területének deriváltja éppen a kör kerülete?

Nyilván nem. Ott a 2π, az teljes szöget jelent, ha változtatom az r-t, akkor kapok egy körlapot, egy felületet. Ennek a deriváltja bármely pontban megadja a sugárra merőleges érintő meredekségét. Ezekből egyértelmű, hogy a felület érintője végig a körlap kerületét követi. Egyébként így szoktak mindenféle alakzat térfogatára és felszínére formulákat számítani csak visszafele. Például veszel egy polárkoordináta-rendszert. A szöget futtattatod 0-tól 2π-ig és a sugarat is 0-tól R-ig. Ezeket ha elképzeled leírnak egy körlapot. Itt kell használni Jacobi determinánst és szépen felírni az integrált. int_(0)^(R) int_(0)^(2π) 1 r dO dr = 2π R^2/2 = π R^2.

Ezt tetszőlegesen alkalmazható bármilyen forgástestre, csak logikusan kell megválasztani a koordináta-rendszert és logikusan kell parametrizálni, utána egyszerű integrálás az egész.