Az x^x=0 egyenletet hogy lehet 'megoldani'? Mely számokra igaz?

x^0 = 1

0^n = 0

...

0^0 nem értelmezett.

=>

x^x = 0 nem értelmezett.

Igen, át lehet fogalmazni a kérdést, és mondjuk az f(x)=0 függvényegyenlet megoldását (megoldásait), vagyis f(x) zérushelyét (zérushelyeit) keressük. Ehhez meg árt néhány tulajdonságot megvizsgálni. Ha f:R->R (valós-valós) függvényt tekintünk, akkor D(f)=R+.

Deriválni ebben a nem lehet, át kell írni e^ln[f(x)]=e^(x*ln x) alakba. A derivált f'(x)=e^(x*ln x) * (ln x+1). Szélsőérték ott lehet, ahol f'(x)=0, azaz ln x+1=0. Innen x=1/e. Megvizsgálva ezt a helyet, ez lokális (de egyben globális) minimum is (értéke 1/e^1/e), és f(x) sz.m.cs., ha 0<x<1/e, sz.m.n., ha x>1/e. Most mellőzve a levezetést, de inflexiós pont nincs, ha xeD(f), akkor f(x) konvex.

A határértékek kellenek még, nyilván 0+-ban és +végtelenben. Utóbbi esetén a fenti e^... forma kitevőjét (x*ln x) kell megvizsgálni. Ez nyilvánvalóan +végtelen*+végtelen, azaz +végtelen. 0+-ban L'Hospital-szabállyal lim x->0+ (ln x)/(1/x)=lim x->0+ (1/x)/(-1/x^2)=lim x->0+ (-x)=0-. tehát a kitevő alulról közelíti a 0-t. Ezért e^(0-)=1-. A függvény határértéke 0+-ban 1-.

A fentiekből azonnal következik, hogy f(x)-nek nincs zérushelye, azaz az x^x=0 egyenletnek nincs megoldása a valós számkörben. A komplex számkör egy másik dolog, erről most nem tudok nyilatkozni :D