Hogyan működik pontosan az elemi bázistranszformáció?

A lineáris egyenletrendszerek megoldásának az az alapja, hogy az általad említett lépésekkel olyan lineáris egyenletrendszereket kapunk, melyeknek a megoldáshalmaza megegyezik a kezdeti lineáris egyenletrendszerével. Továbbá ez a módszer véges lépésben felső-háromszög alapmátrixú egyenletrendszerre vezet, melyből a megoldás visszafejthető.

Az első állításom miatt ez lesz a megoldása a kiindulása egyenletrendszernek is.

Akkor mi? Azért csináljuk így, mert működik.

A középiskolában úgy tanuljuk a lin. egyenletrendszerek megoldását, hogy addig adogatjuk össze az egyenleteket, míg végül valamelyik ismeretlenre kijön, hogy mondjuk x_3=3. Itt is tulajdonképpen erről van szó, csak nem ötletszerűen tesszük mindezt, hanem algoritmikusan. A cél az, hogy ha az alapmátrix rangja k, az ismeretlenek száma n, akkor az egyik sorunk n-k ismeretlent tartalmazzon, az e feletti sor ezt az ismeretlent meg mégy egy másikat stb..Ez akkor fog teljesülni, ha az alapmátrix főátlójában végül csak nullák lesznek. Az algoritmus során előbb-utóbb ez létre fog jönni, ráadásul az ezzel az alapmátrixal megadott egyenletrendszer megoldáshalmaza bizonyíthatóan meg fog egyezni az eredeti egyenletrendszer megoldásával.

Rosszul írtam, természetesen a főátló alatt.