Mennyi idő múlva ér véget a labda mozgása, ha h magasságból leejtjük és a visszapattanó test energiája c-szerese a becsapódásinak?

Matematikailag soha. Mivel az energia sosem lesz 0.8^n sosem lesz 0.

Fizikailag el lehet hanyagolni bizonyos tényezőket.

21. alkalommal földet ér. Az energiájának már kevesebb, mint 1%a marad csak meg. 19. alkalomnál ez 1,44%.

Most eldöntheted, hogy melyikkel akarsz számolni.

Az az idő, amíg egy tárgy h magasságból leesik g gyorsulással: gyök(2h/g)

Az az idő, amíg visszapattan a labda h magasságba g gyorsulással: gyök(2h/g)

Minden alkalommal a labda 0.8ad energiáját tarja meg, így 0.8ad akkora magasságba tud visszapattanni.

Ebből a táblázat egy pdf-ben csatolva küldöm...

Össz idő: 9,0586 sec

107. pattogás után t = 9,0586 sec

A 4 tizedes törttel való számolás esetén itt megáll a labda.

De bizony, végtelen tagból áll, de a mértani sor összege mégis véges!!

Esetünkben az egyes szakaszok ideje egy csökkenő mértani sorozat szerint változik, így biztosan véges idő alatt lezajlik, és nem az "elhanyagolások" miatt.

A mozgási energia v^2-tel arányos, az emelkedés magassága pedig a mozgási energiával arányos. Így az egyes emelkedési magasságok is c-szeresei az előzőnek.

Az emelkedés (esés) ideje: t=gyök(2h/g), emiatt az egyes emelkedési idők az előző esési időnek a gyök(c)-szeresei.

Csak annyi még, hogy az első esés idejét egyszer kell venni, aztán minden időt kétszer (emelkedés+esés).

t0=gyök(2*1,25/9,81)=0,5048 sec

t1=2*t0*gyök(c)=0,9030

Ily módon alkalmazhatjuk a végtelen mértani sorra vonatkozó összegképletet:

t=t0+t1*1/(1-gyök(c))

behelyettesítve: t=9,06 sec

A #4-ben írtam, hogy az egyes emelkedési magasságok is c-szeresei az előzőnek.

Így hasonlóan az időhöz, az első esés után egy mértani sor összegét kell kiszámolni:

s=1,25+2*(0,8*1,25)*1/(1-0,8)=6,25 méter.

Így viszont az átlagsebesség is kijön:

6,25/9,06=0,69 m/s