Mi az a tenzor és mit kell róla tudni?

A skalár és vektor mennyiségekről már hallottál (remélem), ezeket szeretnénk általánosítani. Amikor vektorterekről beszélünk akkor valójábóan lineáris terekről vanszó:

azaz vektortérbármely két vektorának lineáris kombinációja továbbra is a vektortér eleme marad.

Ezt a lineáris vektortér fogalamat akarjuk kiterjeszteni, hogy nem csak számoszlopok illetve számsorok legyenek a lineáris tér elemei, hanem akár szám táblázatok, vagy továbbmenve háromdimenziós szám tömbök...n-dimenziós számtömbök

Ha tanultál egy kis minimális lineáris algebrát, akkor már találkozhattál mátrixokkal..., ha egy vektor megszorzol egy neki megfelelő dimenziójú mátrixal az átviszi egy másik vektorba. A mátrixok vektor transzformátorok. Minden lienáris leképzeés megadható egy mátrixal...tulajdonképen a tenzorok multilineáris leképzések...(a másodrendű tenzorok mátrixokkal ábrázolhatók) másodrendű tenzor: lineáris vektor transzformátor (persze még egy pár extra tulajdonságot elvárunk az adott mátrixtól hogy tenzor legyen: kovanrianca, és invariancia)...

a tenzorok létrehozhatók vektorokból a tenzorszorzás segítségével:

két vektor skaláris szorzata: sorvektor*oszlopvektor,

tenzor(mátrix): oszlopvektor*sorvektor (még diádikus szorzatnak is hívják)

"A vektorhoz hasonlóan ábrázolható egy választott koordináta-rendszerben számok mátrixaként, de független a választott vonatkoztatási rendszertől."

Tegyük fel, hogy van egy felfelé mutató vektorod. Ennek a koordinátái mondjuk (0; 1), ha két koordinátatengely függőleges és vízszintes. Ha olyan koordináta-rendszert veszel fel, melynek a két tengelye pl. átlósan jobbra áll (északkelet délkelet irányban). A vektor koordinátái lehetnek, mondjuk (-1; 1). De ettől függetlenül ugyanarról felfelé mutató vektorról van szó.

Lineáris algebrában tanulhattad, hogy ahhoz legyenek koordinátáink, kell egy bázis, amely a koordinátatengelyeket határozza meg.