Miért nincs pontosan két szimmetriatengelyű háromszög?

Első belátás: Háromszög csak úgy lehet tengelyszimmetrikus, ha a szimmetriatengely áthalad az egyik csúcson. Ha nem így lenne, és a szimmetriatengely nem haladna át a csúcson, akkor egy oldal mindkét végpontjának lenne tükörképe, azaz négy pontról beszélnénk. (Mivel a szimmetriatengely áthalad az egyik csúcson, ezért ennek a csúcsnak a tükörképe önmaga lesz.)

Oké, akkor hát vegyél egy x hosszúságú szakaszt – legyen ez a háromszög a oldala –, meg egy szimmetriatengelyt, ami áthalad az egyik csúcson. Ekkor megkapod tükrözéssel a mások oldalt – legyen ez a b oldal. Az a és a b oldal is azonos hosszúságú. Ha van még egy szimmetriatengely, akkor ezzel létre lehet hozni egy harmadik oldalt. Ebben az esetben vagy az a vagy a b oldal tükröződik, és ebből kapod meg a c oldalt. Csakhogy a tükrözés miatt – az a, a b és a c oldal is azonos hosszúságú. Ha ez így van, és tényleg háromszög jön létre, akkor egyenlő oldalú háromszög fog létrejönni, aminek lesz egy harmadik szimmetriatengelye is.

Ha egy alakzat szimmetriatengelyét tükrözöd egy másik szimmetriatengelyre, akkor is szimmetriatengelyt kapsz.

Ebből következik, hogy pontosan 2 szimmetriatengely csak akkor lehetséges, ha ezek merőlegesek egymásra (így mindkettőnek a tükörképe a másikra nézve önmaga). Mármost, egy-egy tengelyre tükrözést elvégezve is visszakapjuk az alakzatot, viszont a két, merőleges tengelyekre vonatkozó tükrözés együtt egy középpontos tükrözés.

Tehát minden alakzat, amelynek 2 szimmetriatengelye van, az középpontosan szimmetrikus. A háromszögek meg nem azok.