Milyen képlettel lehet kiszámolni egy olyan háromszög területét, aminek csak a szögeit ismerjük?

Nem csinálok rajzot, de megpróbálom leírni.

Legyen alfa és béta a két alapon fekvő szög (a harmadikra nincs szükség). Legyen az alapra állított magasság "m". ez a magasság ossza az alapot x és y hosszúságú szakaszokra. Ekkor felírható 3 egyenlet:

m/x = tg alfa

m/y = tg béta

m(x+y) = 2T

A 3 egyenletből m, x és y kiszámítható, és innen a 3 oldal már egyszerűen szögfüggvényekkel megkapható, illetve az alap még egyszerűbben, hiszen az x+y.

Nemrég volt egy hasonló kérdés, de nem találom, ezért leírok egy levezetést.

A feladat:

Adott:

α, ß, γ, T

a, b, c = ?

A háromszög területe felírható két oldal és a közbezárt szög segítségével.

Például

T = ab*sinγ/2

Ennek alapján felírható három egyenlet három ismeretlen oldalra

2T = bc*sinα

2T = ac*sinß

2T = ab*sinγ

A harmadik egyenletből

ab = 2T/sinγ

Azt első és a második hányadosa

1 = b*sinα/a*sinß

átrendezve

b/a = sinß/sinα

Van két egyenlet

(A) ab = 2T/sinγ

(B) b/a = sinß/sinα (ez a szinusz tételből is adódik)

(B)-ből

b = a*sinß/sinα

ezt (A)-ba helyettesítve

a²*sinß/sinα = 2T/sinγ

ebből

a² = 2T*sinα/(sinß*sinγ)

Ennek mintájára a másik két oldal

b² = 2T*sinß/(sinα*sinγ)

c² = 2T*sinγ/(sinα*sinß)

Gyökvonás után megvan a keresett oldal hossza.

A szabályszerűség az, hogy a számlálóban a számítandó oldallal szemközti szög, a nevezőben meg a maradék kettő szinusza van..

DeeDee

**********