A trigonometrikus egyenletben amikor négyzetre emelés van miért a sinus vagy cosinus lesz négyzeten és miért nem az ismeretlen?

Felcserélhető ugyan, de az egy teljesen más kifejezés lesz. Az egyenletben nyilván a (sin x)^2 műveletről van szó. Ezért is szokták úgy jelölni, hogy sin^2 x (de ugyanígy az összes többi trigonometrikus és hiperbolikus függvénynél, illetve a logaritmusnál is). Ha az ismeretlen lenne a négyzeten, akkor a jelölés sin x^2 (és ugyanígy a többinél).

Ezen felül összetett függvényekről van szó. A (sin x)^2 esetében a sin x az ún. belső, a ()^2 pedig az ún. külső függvény. Ezért ennek úgy számolod ki az értékét, hogy veszel egy xeD(f) elemet, veszed a szinuszát (tehát belső függvény "dolgozik"), majd végül a négyzetre emeled ezt a szinusz értéket (a külső "dolgozik").

Az ismeretlen négyzetre emelése semmiképp nem lenne jó, hiszen teljesen mást jelent a sin(3^2), mint a (sin(3))^2. Az egyik 0,156, a másik valami nagyon kicsi szám.

De igazából nem helyes a sin^2(3) sem, mert ez a sin(sin(3)) lenne a konvenciók alapján. (A nabla^2 például tényleg nabla(nabla(x)). De a trigonometria olyan régi, hogy a szokásjogok tartósabbak lettek, mint az egységesítésre irányuló szándék.

A precedencia sorrend miatt. Előbb veszed valaminek a szinuszát, és utána emeled négyzetre. Ahogy az (x+1)^2 is azt jelenti, hogy előbb hozzáadunk 1-et az x-hez, és utána emeljük négyzetre.

Egyébként pedig általában egy "f" függvény alkalmazása utáni négyzetre emelést is jelölhetünk így:

f^2(x),

ami f(x)*f(x)-et jelent.

A nablánál azért jelenti a négyzetre emelés a nabla(nabla(...)) kifejezést, mert egy operátor használata formailag, tehát szintaktikailag szorzásként van jelölve. A sin egy függvény (értékből értéket csinál), a nabla pedig egy operátor (függvényből függvényt csinál).

Ha f egy függvény, az f^n(x) egyenlő [f(x)]^n-nel, az első jelölés azért jó, mert nem kell zárójelezni és egyértelmű, hogy mi van hatványra emelve. Tehát spórolsz az idővel és a zárójelekkel. Ez igaz a sin-re, a cos-ra, meg az összes függvényre.

Ha F egy operátor, akkor az F^n egy olyan másik operátor, mely megegyezik F o F o ... o F (n-szer) -vel. Ez meg működik az összes operátorra, mint pl. a nablára.

Vegyük ezt az egyenletet: gyök(x+1)=(x+1)^2 (kikötés: x>=-1)

Ezt az egyenletet úgy oldanád meg, hogy négyzetre emelsz, így ez lesz belőle:

abs(x+1)=(x+1)^4,

nem pedig úgy emelnél négyzetre, hogy gyök(x^2+1)=(x^2+1)^2, tehát nem az ismeretlent hatványozod, hanem a műveletek eredményét.

A szinusznál, koszinusznál, tangensnél, kotangensnél, logaritmusnál ugyanez a helyzet.