Hogyan adható meg egy pontszerű test helye koordináta-rendszer segítségével?

...térben plusz egy "z" koordináta.

Ha a kiindulási alap a derékszögű koordináta-rendszer. Mert amúgy megadható polárkoordinátákkal is. Akkor síkban egy, térben két szög és távolság. Csillagászatban pl. ez a praktikusabb.

Kicsit részletesebben:

Ez attól függ, hány dimenzióban vagyunk. Vegyünk alapul egy háromdimenziós ortonormált Descartes koordináta-rendszert. (Ez a derékszögű, picit szaknyelven.) Kétféleképpen adhatod meg egy pont helyét:

1.

A ponthoz hozzárendelsz meghatározott sorrendben két koordinátát, pl.: a:=(1,3,5)

2.

A pontot a bázisvektorok lineáris kombinációjával adod meg, pl.: a:=1i+3j+5k , ahol i, j és k vektorok a bázis.

Ha nézzük ennek a háromdimenziós valós térnek egy alterét, mondjuk két dimenzióban, akkor az elsőnél eggyel kevesebb szám lesz, a másodiknál pedig a k bázisvektoros tag tűnik el. Tehát dimenziótól függ a kérdésed. Általánosan n dimenzióban:

a:=(a_1, a_2, a_3, ..., a_n)=a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3 + ..., a_n e_n

Itt az e_n a bázisvektorokat jelöli, ezek három dimenzióban az i, j, k csak hát, ha az abc betűit használjuk eléggé korlátozottak lennének a dimenziók.

Aztán van két dimenzióban úgy nevezett polárkoordináta-rendszer. Ebben az esetben a pont helyét az origótól való távolságával (r) és a polgártengellyel bezárt szögével (phi) adhatod meg. Az első paraméter lényegében az adott pont pozícióvektorának abszolút értéke (nagysága). Lássuk be, hogy ezzel valóban megadható a kétdimenziós tér bármely pontja. A phi szöget ha futtatjuk 0-tól 2 pi-ig, akkor kapunk egy kört. (Úgy képzeld el, mintha kinyitnád egy x távolságra a körződet, egyik végét az origóba teszed másikat rá az x tengelyre és ahogy növeled a szöget, egészen 360°-ig, rajzolsz egy kört.) Ha pedig az r-t, tehát a pont távolságát változtatod, akkor lényegében a kör sugarát változtatod. Ezért, ha futtatod az r paramétert 0-tól végtelenig egy körlapot kapsz, teljesen befeded a kétdimenziós terünket, tehát valóban a tér bármely pontjába eljuthatunk így. Megadás ekvivalens az eddigiekkel, tehát:

a:= (3, 30°), ha r=3 és phi=30°

A két koordináta-rendszerből át is lehet térni értelemszerűen a másikba. Rajzolsz egy k. rendszert, bele egy vektort, a vektornak a vetületei kiadnak egy derékszögű háromszöget, innentől pedig szögfüggvényekkel meghatározhatóak az értékek.

Aztán van ennek három dimenzióra megfelelő változata, ez a cilindrikus (henger) koordináta-rendszer. A plusz ami bejön egy magasság k komponensként, így egy hengert kapunk. (Előzőnél ugye körlapvolt, most ennek adok magasságot.) Itt a változás még, hogy r helyet a pont távolságát rho-val szokták jelölni.

Van gömbi-koordináta-rendszer is, itt meg kell adni a pont távolságát és (általában) az x-y síkkal bezárt, illetve y-z altérrel bezárt szöget. Ezeknél is át lehet térni egyikről a másikra. Rajzolsz egy téglatestet, a testátlója r, vetülete x-y altérre (lapátló) a rho, x és rho által bezárt szög phi, aztán az r és z-y síkkal bezárt szög a theta a téglatest oldalai pedig x, y, z. Innentől kezdve logikusan meglehet adni a dolgokat. Ami kell hozzá azok az egyszerű szögfüggvények és Pitagorasz tétel. Tömören ennyi.