Hogy képzeljem el ezeket a dolgokat?

Nem vagyok egy nagy matekos, de megpróbálom leegyszerűsíteni, amennyire csak lehet:

-vektortér: egy olyan tér, ahol a vektorokat értelmezni tudjuk (bármilyen tér amit el tudsz képzelni pl., de lehet akárhány dimenziója is)

-lineáris transzformáció: lényegében vektorok összeadása és skalárszorzata

-generátorrendszer: olyan tér, ahol bármely vektorok lineáris transzformációjával előállítható bármelyik másik a térben található vektor

-bázis: gyakorlatilag ugyan az, mint az előző

-lineáris függetlenség: 2 vektor akkor lineárisan független, ha nem állíthatóak elő egymásból lineáris transzformáció segítségével

Remélem így érthetőbb lett, ennél egyszerűbben nem tudom leírni őket.

Solystan, ostobaságokat beszélsz.

A kérdezőnek:

Lineáris függetlenség: Képzelj el három vektort a térben, amik egy közös pontból indulnak ki (ez nem feltétel, csak így könnyebb elképzelni). Ha a 3 vektor egy síkban van, akkor bármely kettőből elő tudod állítani a harmadikat lineáris kombinációval. Pl: c=2a+3b. Ilyenkor a három vektor lineárisan nem független. Ha viszont a 3 vektor nincs egy síkban, akkor ezt nem tudod megtenni. Ilyenkor lineárisan függetlenek. Persze ez az "egy síkban van", "nincs egy síkban" dolog csak a 3 dimenziós térben szemléletes és jelent valamit. A dolog általánosítása céljából találták ki a lineáris függetlenséget, ami már akárhány dimenziós térben értelmezhető. Tehát egy bizonyos számú vektor akkor független lineárisan, ha egyik sem állítható elő a többiből lineáris kombinációval.

Bázis: A 3 dimenziós térben például bázis lehet a koordinátarendszer három tengelye irányába mutató 3 vektor, mert ezek lineáris kombinációjával a tér bármely vektorát elő tudod állítani. Pl ha a 3 bázisvektor az a=(1,0,0), b=(0,1,0), c=(0,0,1), akkor a d=(2,3,1) vektort ezekkel így állíthatod elő: d=2a+3b+c. Persze nem muszáj, hogy a bázisvektorok egységnyi hosszúak legyenek, sőt az sem, hogy egymásra merőlegesek. Az a lényeg, hogy lineárisan függetlenek legyenek.

Generátorrendszer: ebben nem vagyok teljesen biztos, de azt hiszem, hasonló a bázishoz, tehát kell, hogy elő lehessen állítani vele bármilyen vektort, de nem muszáj lineárisan függetlennek lennie. Ebből az is következik, hogy akár több vektort is tartalmazhat, mint a bázis.

Vektortér: Minden olyan halmaz, amelynek az elemei rendezett szám n-esek, tehát pl ilyen elemei vannak, hogy (2,3,5,1), (1,-4, 5, 6) stb. Ezeket az elemeket nevezzük vektoroknak.

Lineáris transzformáció: Olyan transzformáció, ami egy vektort egy másik vektorrá alakít (képez le), és ehhez csak skalárral (számmal) való szorzást és vektori összeadást tartalmaz. Egy egyszerű lineáris transzformáció például a kétszeres nyújtás, ami minden vektort egy ugyanolyan irányú, de kétszer olyan hosszú vektorrá alakít. Vagyis az (1,1) vektorból (2,2)-t csinál, a (2,3) vektorból (4,6)-ot stb. Másik egyszerű lineáris transzformáció, ami minden vektort mondjuk 30 fokkal elforgat egy adott tengely körül. Az ilyen transzformációkat mátrixok reprezentálják, amelyeknek az elemei skalárok.

Nézz két vektort az A vektortérből, a-t és b-t.

Azt mondja az általad idézett definíció, hogy mindegy, hogy az először összeadod a két vektort (így lesz a+b) és utána hattatod a transzformációt, vagy először eltranszformálod egyenként őket, és utána adod össze az eltranszformált vektorokat.

Vagyis, egy C transzformáció esetén:

C (a+b) = C (a) + C (b)

Számmal szorzásra teljesen hasonlóan működik (legyen pl. k az alaptest eleme, skalár).

C (k*a) = k*C(a)

Mindegy, hogy először megszorzod a számmal, és utána hattatod C-t, vagy először hattatod C-t, és utána szorzod a számmal.

Ha ezt a kettőt tudja a C minden vektorra és számra, akkor ő egy lineáris trafó.