Tudná valaki egyszerűsíteni (1-i) ^2011?

Jó a megoldás.

Az ilyen nagy kitevőjű hatványozását a komplex számoknak trigonometrikus alakban érdemes elvégezni.

1-i trigonometrikus alakja: gyök2*(cos(-pi/4)+i*sin(-pi/4)).

Ezt úgy emeljük 2011-edik hatványra, hogy a gyök2-t ilyen hatványra emeljük, a -pi/4 szöget pedig 2011-el szorozzuk.

(gyök2)^2011=(gyök2)^2010*(gyök2)=2^1005*(gyök2).

A -pi/4 szög 2011-szerese -2011/4*pi=(-2008/4*pi)+(-3pi/4). Mivel innen -2008/4*pi a teljes szög, ezért csak a -3pi/4 szöget kell tekintenünk.

Szóval a keresett 2011-edik hatvány:

2^1005*(gyök2)*(cos(-3pi/4)+i*sin(-3pi/4)).

Vegyük észre, hogy

(gyök2)*(cos(-3pi/4)+i*sin(-3pi/4))

éppen -1-i trigonometrikus alakja, így a megoldás valóban

2^1005*(-1-i).