Mi az alábbi feladatok megoldása?

Első: A triviális számtani sorozat, aminek az első eleme 0, és a differenciája is 0, pont ilyen. Tehát van ilyen számtani sorozat.

A második az ronda geometria, de biztos az is egyszerű. Majd valaki leírja a megoldását.

A megoldás menete:

Legyen a számtani sorozat első tagja E, a növekménye d. Ekkor az E, E+d, ..., E+(n-1)*d, ..., E+(2n-1)*d, ..., E+(3n-1)*d sorozatról beszélünk, ebben 3 ismeretlen van, n>0 egész, E és d tetszőleges (nem feltétlenül egész, de először próbáljuk arra). A sorozat megoldóképletével felírjuk az első n tag összegét, amely egyenlő n-nel. Ezután hasonlóan az első 2n, majd első 3n tag összegére is a megfelelő egyenlőségeket. Három egyenlet, három ismeretlen. Célszerű az elsőből és másodikból rögtön n-t kifejezni, és egymással egyenlővé tenni.

A négyszögben keletkező négyszögek területeinek egyenlőségére a következő gondolatmenetet alkalmazzuk. Segédként a P-t kössük össze a csúcspontokkal is. Ekkor 8 db háromszöget kapunk, sorra beszámozva őket, azt kell megmutatni, hogy az 1-től 4-ig sorszámozott háromszögek összege egyenlő az 5-től 8-ig terjedőkével. Vegyük észre, hogy az 1. és 5., 2. és 7., 3. és 6., 4. és 8. háromszögek területe egyenlő, mert páronként a magasságuk és alapjuk azonos hosszúságú (A P pontból sorra az eredeti négyszög oldalaira bocsátott merőlegesekről van szó, az egyes háromszögek pedig az egyes oldalak felezőponttal elválasztott oldalaihoz tartoznak, a két alap tehát egyenlő).