Ki ismeri az elliptikus függvényeket?

Néhány jellemzést leírok a kiinduláshoz, aztán konkretizálom a problémáimat. (A neten beszerezhető a következő cikk is: ERIC VAN FOSSEN CONRAD AND PHILIPPE FLAJOLET: THE FERMAT CUBIC, ELLIPTIC FUNCTIONS, CONTINUED FRACTIONS, AND A COMBINATORIAL EXCURSION) Az elliptikus görbe egyenlete: x^3+y^3=1. Hasonlóan a trigonometrikus függvényekhez van egy <cm(z), sm(z)> függvénypáros, aminek egyik definíciója a következő: integrál (0-tól sm(z)-ig)(dt/(1-t^3)^(2/3))= z =integrál (cm(z)-tól 1-ig)(dt/(1-t^3)^(2/3)). (Remélem egyértelmű eddig)

Egy másik definíció: sm(z)=Inv (z) integrál (0-tól z-ig) (dt/(1-t^3)^(2/3))=Inv (z) 2F1[1/3;2/3;4/3;z^3].

A függvénypáros periodikus és pi3 periódus 3*integrál (0-tól 1-ig) (dt/(1-t^3)^(2/3)) = B(1/3;1/3) = G(1/3)^2/G(2/3)=5,299916...., ahol G a Gamma függvényt jelöli.

Igazak a következő egyenletek: sm(z)^3+cm(z)^3=1, továbbá sm'(z)=cm(z)^2, cm'(z)=-sm(z)^2, sm(0)=0, cm(0)=1.

(folyt köv.)