Deriválási azonosságok levezetése?

Mivel ide nem tudok normális képleteket írni, ezért sajátságos jelölést vezetek be. Valamilyen kifejezés határértékét midőn x tart a-hoz jelöljük itt így:

[x->a]Lim (kifejezés).

Az x^n függvény a-pontbeli deriváltja definíció szerint

[x->a]Lim (x^n-a^n)/(x-a).

Ha n>1 és x nem=a, akkor az x^n-a^n kifejezés szorzattá alakítható, kiemelhető belőle az (x-a) tényező. Ez egy algebrai átalakítás.

x^n-a^n =

(x-a)[x^(n-1)+x^(n-2)a+x^(n-3)a^2+...+xa^(n-2)+a^(n-1)]

Az a lényeg, hogy a jobb oldal második tényezőjében minden tagban az x kitevőjének és az a kitevőjének n-1 az összege. Az egyenlőség mindkét oldalát (x-a)-val elosztva (ami nem 0) mindkét oldal határértékét kell vennünk x tart a-hoz esetén. A bal oldal a keresett deriváltat adja, a jobb oldal határértékét x=a helyettesítéssel kapjuk (folytonos függvény adott pontbeli határértéke az adott pontbeli helyettesítési értékével egyezik meg).

A helyettesítés után a jobb oldalon n darab a^(n-1) tag lesz. Tehát x^n a-pontbeli deriváltja n*a^(n-1).

Nehézkes ide képleteket írni, a többit újabb hozzászólásban fogom írni, feltéve ha lesz hozzá kedvem.

Most jöjjenek a trigonometrikus függvények.

Segédtétel:

[x->0]Lim (sin x)/x = 1.

Ezt a cos x < (sin x)/x < 1

egyenlőtlenség fennállása igazolja

-pi/2<x<0 és 0<x<pi/2 esetében,

amit geometriai úton lehet könnyen bizonyítani, de nem tudom iderajzolni az ábrát.

(sin x)'=cos x és (cos x)'=-sin x

Nézzük először az x=0 helyet.

[x->0]Lim (sin x-sin 0)/(x-0)=

[x->0]Lim (sin x)/x = 1 = cos 0

[x->0]Lim (cos x-cos 0)/(x-0)=

[x->0]Lim (cos x-1)/x=

[x->0]Lim [-2sin^2(x/2)]/x=

[x->0]Lim [-sin(x/2)][sin(x/2)]/(x/2)=-0*1=0=-sin 0

Eddig rendben.

Most legyen a tetszőleges valós szám x nem=a esetén

(sin x-sin a)/(x-a)={sin[(x-a)+a]-sin a}/(x-a)=

[sin(x-a)cos a+cos(x-a)sin a-sin a]/(x-a)=

[sin(x-a)]/(x-a)*cos a+[cos(x-a)-1]/(x-a)*sin a

Ennek határértéke x->a (azaz x-a->0) esetén

1*cos a+0*sin a=cos a.

Felhasználtuk a segédtételt és két szög összegére vonatkozó trigonometrikus azonosságot. Hasonlóan

(cos x-cos a)/(x-a)={cos[(x-a)+a]-cos a}/(x-a)=

[cos(x-a)cos a-sin(x-a)sin a-cos a]/(x-a)=

[cos(x-a)-1]/(x-a)*cos a-sin(x-a)/(x-a)*sin a

Ennek határértéke x->a esetén

0*cos a-1*sin a=-sin a

Mivel ide nem tudok rendes képleteket beírni, ezért megpróbálom elmondani, hogy hogyan is kell érteni a leírtakat.

Ha egy tört nevezőjében egyetlen tényezőnél több szerepel, akkor azt mindig zárójelbe teszem. Az általad kérdezett utolsó sor első tagja egy szorzat melynek első tényezője egy tört:

sin(x-a)]/(x-a) a második tényező (cos a), tehát a

(cos a) mint szorzótényező nem a tört nevezőjében van. Ha a nevezőben lenne, akkor így írtam volna:

/[(x-a)cos a].

Most újra leírom a kérdéses három sort, magyarázatokkal és további (felesleges) zárójelekkel és mindig kiteszem a * szorzásjelet.

[(sin x)-(sin a)]/(x-a) ennek a határértéke lenne a kérdéses derivált, midőn x→a (azaz x tart a-hoz). Ez tovább egyenlő

{sin[(x-a)+a]-(sin a)}/(x-a) Csak annyi történt, hogy az első szinusz argumentumába x helyett (x-a+a)-t írtunk. A következő sort úgy kapjuk, hogy alkalmazzuk a

sin(α+β)=(sin α)*(cos β)+(cos α)*(sin β) trigonometriai azonosságot, α=x-a, β=a szereposztásban. Tovább egyenlő

{[sin(x-a)]*(cos a)+[cos(x-a)]*(sin a)-(sin a)}/(x-a)

Ez egy tört, a számlálója három tagból áll. A második és a harmadik tagból kiemelhetjük a közös (sin a) tényezőt.

{[sin(x-a)]*(cos a)+{[cos(x-a)]-1}*(sin a)}/(x-a)

Most már csak két tagból áll a számláló, a törtet kéttagú közös nevezőjű törtre bontjuk szét.

{[sin(x-a)]/(x-a)}*(cos a)+ {{[cos(x-a)]-1}/(x-a)}*(sin a)

Ez egy kéttagú összeg. Az első tag első tényezője

[sin(x-a)]/(x-a)

ennek határértéke x→a azaz (x-a)→0 esetén 1. Lásd a segédtételt: [x→0]Lim (sin x)/x=1.

Így az első tag határértéke 1*(cos a)=(cos a).

A második tag első tényezője

{[cos(x-a)]-1}/(x-a)

ennek a határértéke x→a azaz (x-a)→0 esetén 0. Lásd a korábbi levezetést a cos 0-pontbeli deriváltjáról, de ideírom ismét az ide vonatkozó részt.

[x→0]Lim [(cos x)-1]/x=

[x→0]Lim {(-2)*[sin(x/2)]^2}/x=

Trigonometriai azonosságot használtunk.

[x→0]Lim [-sin(x/2)]*{[sin(x/2)]/(x/2)}=-0*1=0

Megint felhasználtuk, hogy [x→0]Lim (sin x)/x=1.

Tehát a második tag határértéke 0. Ezáltal

[x→a]Lim [(sin x)-(sin a)]/(x-a)=(cos a).