Hány olyan 2011cm kerületű trapéz van melynek oldalai egész számok?
Rengeteg. :-)
Kicsit pontosabban:
A trapéz oldalait jelöljük a, b, c és d-vel. b és d a két szár, a a teteje, c az alapja.
Látni kell, hogy mivel egyenlő szárú trapézról van szó – gondolom egyenlő oldalú helyett egyenlő szárút akartál írni –, ezért a kerület a+b+c+d. Mivel b=d, ezért a kerület a+2*b+c. Ez csak akkor lesz páratlan, ha a és c közül pontosan az egyik páratlan. (Azaz a és c nem lehet egyszerre páros, vagy egyszerre páratlan.)
Csak azokkal a trapézokkal kell foglalkozni, aminél a<c, hiszen aminél a>c, az egybevágó egy másik olyan trapézzal, aminél a<c. Az a=c eset nem fordulhat elő az előző következtetés miatt (a és c közül pontosan az egyik lehet csak páratlan).
Még egy összefüggést kell figyelembe venni, hogy a c alap nem lehet hosszabb, mint a+b+d. Ebből következik, hogy a c oldal semmiképpen nem lehet nagyobb, mint 2011/2, azaz 1005.5 cm. Mivel c csak egész szám lehet, ezért c≤1005.
Nézzük mi van, ha a=1:
Ebben az esetben c-nek párosnak kell lennie. c tehát 2-től indulhat és 1004-ig mehet el. Ez 502 különböző trapézt jelent.
Ha a=2, akkor:
Ebben az esetben c-nek páratlannak kell lennie. Mivel c-nek nagyobbnak kell lennie a-nál, ezért c 3-tól 1005-ig változhat, ami összesen 502 különböző trapézt jelent.
Ha a=3, akkor:
c 4-től 1004-ig mehet (párosával). Ez 501 különböző trapézt jelent.
Ha a=4, akkor:
c 5-től 1005-ig mehet (párosával). Ez 501 különböző trapézt jelent.
Ha a=5, akkor c 500 különböző értéket vehet fel (6-tól 1004-ig párosával).
Ha a=6, akkor c 500 különböző értéket vehet fel (7-től 1005-ig párosával).
stb…
Az a legnagyobb értéke akkor lehetséges, ha b=d=1, így a+c=2009, azaz a=1004 és c=1005. Ha a=1004, akkor c nem is vehet fel más értéket.
Ha a=1003, akkor c 1004 lehet csak, tehát ilyen trapézból is csak egy lehet.
Mint látható, az összes trapéz darabszáma megegyezik az összes 1 és 502 közötti egész szám összegének duplájával, ami 2*(1+502)*502/2 = 503*502 = 252 506 darab trapézt jelent.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2025, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!