Lehet csak szabályos hatszögekből zárt teret alkotni?

Attól függ, hogy értelmezzük a zárt teret. Ha kilóghat a hatszögek bizonyos része a térből, akkor igen. Egymás mellé teszel hat darab hatszöget úgy, hogy a párhuzamos élek mentén találkoznak. Az első hatszög bal oldali élét az utolsó jobb oldali éléhez illeszted, így kapsz egy hatszög alapú hasábra illeszkedő „karikát”, a két végét abban a magasságban ahol a hatszögek találkoznak, lezárod két hatszöggel és kész is. Persze ki fog lógni néhány darab.

Ha viszont úgy kell zárt teret csinálni, hogy nem lóghat ki belőle semmi, akkor nem lehet megoldani, hiszen ehhez minden csúcsnak egy másik csúccsal, minden élnek egy másik éllel kell találkoznia. Egy csúcsban kettő vagy három hatszög találkozhat, ami minden esetben síkot ad, tehát nem lehet hatszögekkel ilyen módon kilépni a síkból.

Ezt írod: Síkból kiemeléshez, zárt tér alkotáshoz legalább 1 ötszög kell?

Ez így biztos nem igaz, hiszen a felsorolt platóni testek bizonyítékok arra, hogy nem kell ötszög hozzá. Nem platóni testekből is természetesen egy raklap van. Nézz meg egy összetettebb szobát. Ha becsukod az ajtókat és ablakokat, akkor az egy zárt tér, ami kiemelkedik a síkból, de mégis rendszerint téglalapokból áll, ha nagyon vidám volt a kőműves, akkor meg esetleg trapézokból, egyebekből. De ötszög nem kell hozzá.

Ha nem szabályos lapokról van szó, akkor az ötszög egyrészt nem szükséges a térből való kiemelkedéshez, másrészt ötszögekből is lehet síkot lefedni. Lásd: [link]

A tested elképzelhető úgy, mint egy gráf.

Vannak csúcsai és élei.

Azt hiszem ebből jön ki az euler-tétel:

Lapok száma + csúcsok száma = élek száma + 2

[link]

Ha sikerül olyan lap, él és csúcsszámot találnod, amire az Euler-tétel teljesül, akkor van esélyed, hogy a test is fölépíthető belőle :)

Szabályos sokszögekből csak 5 db van:

[link]

Szabályos sokszöget úgy kapunk, hogy minden csúcsban azonos számú él találkozik. Emiatt hatszögekből nem tudsz szabályos testet készíteni.

Nem szabályos testet viszont ez nem zárja ki. A lényeg, hogy az Euler-tételnek minden testre teljesülnie kell. Ebből lehetne kiindulni szerintem.

Ha jól értem a feladatot (topológiailag). Gömböt kell felosztani hatszögekre. Ha nincs más megkötés, akkor egy vegyünk fel egy hatszöget és az két hatszögre osztja a gömböt(kívül, belül). Ha az is megkötés, hogy a hatszögek csúcsban találkozzanak és pontosan 3 darab akkor nincs megoldás. Legyen a hatszögek száma N. Ekkor a lapok száma N=F, az Élek száma 6*N/2=E és a Csúcsok száma 6*N/3=V. Felírva az Euler poiéfer tételt:

V+F=E+2

azaz

2*N+N=3*N+2 ebből 0*N=2 jön ki ami semmilyen N-re nem igaz.

Azon lehet gondolkozni, hogy ha egy csúcsban nem

3 él találkozik, és/vagy hogy egy élen is lehet csúcs.