Hogyan lehet kiszámolni fizikai képletekkel, mikor fedi egymást a 2 óramutató?

Függvényként kell felírni a két mutató időbeni pozícióját, úgy talán egyszerűbb.

A kis- és a nagymutató is egy teljes kört ír le, tehát polárkoordinátákban lehet számolni. A polárkoordinátákból is elég csak egyetlen, egy szög, mert teljesen mindegy, hogy az adott mutató végét vagy közepét vizsgálod, ugyanúgy mozognak a pontok.

Tehát lesz egy szöged, amit majd praktikusan a 12 órától mérünk. Legyen ez mondjuk ф. Ebből a szögből kettő is van, az egyik azt mutatja meg, hogy egy adott pillanatban a 12 órához képest milyen szögben áll a kismutató, a másik meg azt, hogy a 12 órához képest hol áll a nagymutató. Mivel a 12 óra a viszonyítási pont, ezért őt választjuk a ф=0 értéknek.

A nagymutató 1 óra alatt jár körbe, tehát egy órás periódusokból rakható össze a mozgása. Ezen egy órás periódus alatt elindul ф=0-ból és ф=360°-ig egyenletesen nő a szöge, majd visszaesik 0-ra és kezdődik elölről a játék.

A kismutató mozgása 12 órás periódusokból áll össze: ez is ф=0-ról indul, de ez 12 óra alatt jut el ф=360°-ig egyenletesen. Vagyis óránként 30 fokkal nő a ф értéke.

Fel kell tehát írni két egyenletet, amik leírják ezeket a függvényeket. Sajnos az elsőre nehéz olyat felírni, ami jól használható lenne: matematikailag pontosan csak törtrész-függvénnyel lehetne leírni, de azzal meg nehéz számításokat végezni. A Fourier-sorfejtést meg inkább hagyjuk ki, bár azt a fűrészfog-alakot jól lehetne közelíteni.

Alkalmazzunk inkább egy trükköt: a mutató mozgásánál ne a látszólagos pozíciót írjuk le, hanem az összes megtett utat. Vagyis miután a nagymutató elérte a ф=360° értéket, nem ugrik vissza ф=0°-ra, hanem ф=361°-kal folytatódik a játék. Ekkor a nagymutató elfordulási szöge az alábbi módon függ az időtől: фn(t)=t*360°, ahol t a dél (vagy éjfél) óta eltelt idő és órában mérjük. A kismutató függvénye: фk(t)=t*30°, ahol t ugyanezekkel a paraméterekkel bír.

Na, ezt a kettőt kell egyenlővé tennünk egymással, kis átalakítás után. A nagymutató ugyanis többször körbejár az órán, míg a kismutató fordul egyet. Ebből adódik, hogy például az első találkozásnál a kismutató 30°-nál valamivel többet fordul, míg a nagymutató ekkor már 390° fölött fog járni. Messze nem lesz egyenlő az elfordulásuk szöge, de attól még fedésben lesznek.

Ezt végiggondolva az egyenlőség helyes formája: фk(t)=ф(n)t-k*360°, ahol k nem negatív egész. Az egyenleteket behelyettesítve: t*30°=t*360°-k*360°. Megoldod t-re az egyenletet és megvan, hogy éjfél vagy dél után hány óra múlva fedik egymást a mutatók. Csak ez így nehezen megoldható, ezért kicsit csalni kell.

Mégpedig úgy kell csalni, hogy tudod: 12-szer fognak találkozni a mutatók, minden órában egyszer. Éppen ezért óránként vizsgálod a találkozást. Az első órában mindkét mutató 0-ról indul, akkor van találkozás, többet nem is lesz. A második órában a kismutató 30°-ról indul, a nagymutató ismét 0-ról. A függvények ugyanazok (t*30° és t*360°), de most úgy írod fel, hogy 30°+t*30°=t*360°. Ebből megkapod, hogy t=1/11h. Vagyis a második óra kezdete után ennyi idő múlva találkoznak, azaz 1 óra 5 perc 27 másodperckor. A következő találkozásnál a kismutató 60°-ról indul, a nagymutató megint 0-ról, az egyenleteket jól felírva 0,18 h-t kapsz, ekkor pár másodperc híján 2 óra 11 perckor ér össze a két mutató. Ezt követően a kismutató 90°-ról indul, onnan éri utol a nagymutató, ha jól számolsz, 3 óra 16 perc 21 másodpeckor.

Innentől már csak 9 számítás lenne hátra, de ha eléggé ügyes és okos vagy, rájöhetsz, hogy két találkozás között mindig ugyanannyi idő telik el, ki lehet számolni, hogy mennyi ez és ebből meg lehet határozni a további találkozások időpontjait.

Ha pedig kész vagy, nyugodtan elgondolkozhatsz egy egyszerűbb megoldáson is, mert ez szerintem túl bonyolult.

A kulcsszó a szögsebbeség.

A nagymutató szögsebessége vn= 2*pi 1/h

A kismutatóé ennek az 1/12 szerese, azaz vk= pi/6 1/h

Legyen mondjuk pontban 1 óra, a nagymutató pozíciója pn=0, a kicsié pk=pi/6

Lesz egy pont ahol, találkoznak:

pn+vn*t=pk+vk*t

t kivételével mindent ismerünk, már csak az egyenletet kell megoldani. Mivel vn-t és vk-t 1/h-ban írtam fel, a t végeredmény mértékegysége is órában lesz.