Egy háromszög súlyvonalainak hossza 6 cm; 8 cm; és 10 cm. Mekkora a háromszög területe?

Le lehet vezetni, hogy

4*sa^2=2b^2+2c^2-a^2

Ez persze mindhárom oldalra.

Vagyis:

4*36=2b^2+2c^2-a^2

4*64=2a^2+2c^2-b^2

4*100=2a^2+2b^2-c^2

3 egyenlet, 3 ismeretlen, meg kell oldani.

Átírtam x,y,z-re így könnyebb számolni:

144=2z+2y-x

256=2x+2z-y

400=2x+2y-z

Első két egyenlet összege:

400=x+y+4z

A 3. egyenletbe beírva:

x+y+4z=2x+2y-z

5z=x+y

Visszaírva:

400=x+y+4z=9z

z=400/9=44,444

5z=x+y vagyis

x+y=222,222

Első egyenletbe visszahelyettesítve:

144=2*y+2*z-x

144=2*y+2*44,444-(222,222-y)

277,334=3y

y=92,444

x=129,555

És ugye z=44,444

x=a^2-->a=11,382

b=9,615

c=6,67

Érdekes feladat!

Általános esetben az általam talált megoldás elég macerás, de az adatok miatt ez egy speciális eset, és aránylag könnyen megoldható.

A rajz

[link]

A rajzból kiderül, hogy azért neveztem a feladatot speciális esetnek, mert a súlyvonalak egy derékszögű háromszöget alkotnak, így a háromszög területét derékszögű háromszögekből lehet összerakni.

Míg rajzoltam, Ifjutitan leírta azt a módszert, amit én macerásnak minősítettem. :-)

Az alapja a paralelogrammákban érvényes tétel, miszerint az átlók négyzetösszege egyenlő az oldalak négyzetösszegével.

Ugyanezen tétel alkalmazásával lehet a háromszög súlyvonalait kiszámítani az oldalak ismeretében.

Az oldalak kiszámításának képletei

a = (2/3)*√[2(Sb² + Sc²) - Sa²]

b = (2/3)*√[2(Sa² + Sc²) - Sb²]

c = (2/3)*√[2(Sa² + Sb²) - Sc²]

Általános esetben ezekkel legegyszerűbben a Heron képlettel lehet meghatározni a háromszög területét.

Lehet, hogy van ennél egyszerűbb módszer is, de eddig még nem találtam ilyet. Még dolgozom rajta.:-)

DeeDee

***********