Hogyan kell megoldani ezt a feladatot?

x/y + y/x = 5/2

Kikötjük, hogy x és y nem lehet nulla, mert nevezőben van.

Utána felszorzunk x,és y nal:

x^2+yˇ2=2,5

Másiknál is kikötünk, X+y>0 és y-y is >0

Azonosság alapján:

log9(x^2-y^2)=0,5

ebből (x^2-y^2)=9 a 0,5-en, ami +és-3

Innen pedig a két egyenletből visszahelyettesítés.

X^2=3+y^2 és

x^2=2,5/y^2 tehát a két jobb oldali egyenlő.y^2-et átnevezed z-re és lesz arra egy másodfokú, utána visszabontod. bocs, de számolni nem tudok most, de ez a menete.

Néhány azonosságot kell tudni, onnan meg már csak számolás:)

Az első, egy logaritmus azonosság: lg(a)+lg(b)=lg(ab)

E szerint a 2. egyenleted így néz ki: log9(x+y)(x-y)=0.5

Tudjuk, hogy (x+y)(x-y)=x^2-y^2, így

log9(x^2-y^2)=0.5

A logaritmus definíciójából adódóan ez

x^2-y^2=9^0.5 ami x^2-y^2=3

Ebből fejezzük ki például az x-t:

x=sqrt(3+y^2)

Most ezt helyettesítsük be a másik egyenletbe:

sqrt(3+y^2)/y+y/sqrt(3+y^2)=5/2

Szorozzuk mindkét oldalt sqrt(3+y^2)*y al:

3+y^2+y^2=5/2*y*sqrt(3+y^2)

Emeljük négyzetre:

9+12y^2+4y^4=25/4y^2(3+y^2)

Ha ez megvan itt felbontod a zárójelet, összevonsz ezt kapod:

y^4+3y^2-4=0 ami y^2-re egy másodfokú egyenlet, tehát y^2 legyen a:

a^2+3a-4=0

Ennek két gyöke van -4 és 1, ezeket visszaírod y^2=a egyenletbe, megkapod az y-okat(attól függően hogy hanyadikos vagy, vagy 2 megoldásod lesz, vagy 4 amiből 2 komplex szám) majd eredeti egyenlet valamelyikébe visszaírva őket az x-eket is megkapod.

Az 1. feladatnál, ha felszorzunk x és y al, akkor a másik oldalin is fel kell szorozni.

x+y=2,5 ez a vége