Mondanátok nekem olyan topologikus tereket, amelyek nem metrikusak?

A topologikus tereknek nem sok köze van a metrikához.

Topologikus tér gyakorlatilag bármilyen halmaz lehet. Attól lesz belőle topologikus tér, hogy definiálunk rajta egy topológiát, ami gyakorlatilag azt jelenti, hogy megmondjuk, mely részhalmazait nevezzük nyílt halmazoknak - persze csak bizonyos megkötésekkel. Például mondhatjuk azt, hogy a 2 dimenziós sík a halmazunk (de ezt bármilyen nem üres halmazzal eljátszhatjuk), és nevezzük nyílt halmaznak az összes részhalmazát. Ez egy topologikus tér lesz, persze nem a szokásos nyílt halmazokkal.

Metrikus attól lesz egy tér, hogy definiálunk rajta egy távolságfüggvényt. Pontosabb definíció itt:

[link]

Minden halmazon lehet definiálni ilyet, akár topologikus tér, akár nem. Lásd a diszkrét metrikus tér metrikáját.

Tehát bármilyen halmazból indulunk ki, tudunk rajta topológiát és metrikát is definiálni.

Szia! Idéztem a wikipédiás cikket a metrikus térről. Nézd meg benne a diszkrét metrikus térről szóló részt:

"Tetszőleges X halmaz metrikus térré tehető a diszkrét metrika (Hamming-metrika) segítségével..."

Tehát bármilyen halmazon tudsz metrikát definiálni, így nincs olyan topologikus tér sem, ami nem metrizálható.